[論文レビュー] Graph and String Parameters: Connections Between Pathwidth, Cutwidth and the Locality Number

Katrin Casel, Joel D. Day+4 more|arXiv (Cornell University)|Jan 1, 2019

Algorithms and Data Compression参考文献 44被引用数 4

ひとこと要約

この論文は、還元技術を通じて、文字列のパrameter局所性番号とグラフパラメータのカット幅とパス幅の間の新しい関係を確立する。局所性番号の計算はNP困難であるが、局所性番号またはアルファベットサイズをパrameterとして固定パラメータ動的可解性（FPT）であることを証明し、O(√(log(opt) log(n)))近似アルゴリズムを提供する。また、多重グラフにおいてカット幅からパス幅への近似を保つ還元が可能となり、近似比が向上する。

ABSTRACT

We investigate the locality number, a recently introduced structural parameter for strings (with applications in pattern matching with variables), and its connection to two important graph-parameters, cutwidth and pathwidth. These connections allow us to show that computing the locality number is NP-hard but fixed-parameter tractable (when the locality number or the alphabet size is treated as a parameter), and can be approximated with ratio O(sqrt{log{opt}} log n). As a by-product, we also relate cutwidth via the locality number to pathwidth, which is of independent interest, since it improves the best currently known approximation algorithm for cutwidth. In addition to these main results, we also consider the possibility of greedy-based approximation algorithms for the locality number.

研究の動機と目的

• 文字列パターンマッチングにおける局所性番号の計算複雑性に関する未解決問題を解消すること。
• 局所性番号とカット幅やパス幅などの古典的グラフパラメータとの間の明確な関係を確立すること。
• パス幅への還元を用いて、局所性番号およびカット幅のための近似アルゴリズムを開発すること。
• 局所性番号を局所性番号またはアルファベットサイズをパrameterとして固定パラメータ動的可解なアルゴリズムを提供すること。
• 既存のパス幅およびカット幅アルゴリズムを活用して局所性番号を計算可能にする実用的意義を示すこと。

提案手法

• 頂点のクリーク拡張を用いて文字列をグラフに変換することで、局所性番号問題をパス幅に還元する。
• 既知のパス幅からカット幅への還元を適用し、パス幅からカット幅への近似を保つ写像を確立する。
• pdマーキング方式を用いて、変換されたグラフ内でパス分解をシミュレートし、幅の上限を保持する。
• 2段階の還元を採用する：まず局所性番号からパス幅へ、次にパス幅からカット幅へ。近似比を維持する。
• 既存のパス幅近似アルゴリズム（例：O(√(log(opt) log n)) および O(tw√log tw)）を活用し、カット幅のための新たな近似比を導出する。
• パス幅の任意の r(opt, |V|)-近似が、h本の辺を持つ多重グラフにおいてカット幅の 2r(2opt, h)-近似をもたらすことを証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 局所性番号の計算はNP困難であり、局所性番号またはアルファベットサイズをパrameterとして固定パラメータ動的可解時間で解けるか？
• RQ2 局所性番号は非自明な比で近似可能か？ そして、最良の近似比は何か？
• RQ3 局所性番号とカット幅やパス幅などの古典的グラフパラメータとの関係は何か？
• RQ4 既存のパス幅近似アルゴリズムを用いて、カット幅および局所性番号のための新たな近似アルゴリズムを導出可能か？
• RQ5 カット幅からパス幅への近似を保つ還元が、多項式近似比を保つように可能か？

主な発見

• 局所性番号の計算はNP困難であるが、局所性番号またはアルファベットサイズをパrameterとして固定パラメータ動的可解性（FPT）であることが証明され、文献における未解決問題が解決された。
• O(√(log(opt) log(n)))-近似アルゴリズムが存在し、このパラメータに対する最初の非自明な近似比を提供する。
• カット幅からパス幅への近似を保つ還元が確立され、パス幅の任意の r(opt, |V|)-近似が、h本の辺を持つ多重グラフにおいてカット幅の 2r(2opt, h)-近似をもたらすことが示された。
• h本の辺を持つ多重グラフにおけるMinCutwidthのためのO(√(log(opt) log(h)))-近似アルゴリズムが得られ、従来の比を改善した。
• パス幅のO(tw√log tw)-近似に基づき、多重グラフにおけるMinCutwidthのためのO(√(log(opt) opt))-近似アルゴリズムが導出された。
• 還元は実用的であり、既存のパス幅およびカット幅アルゴリズムを変更して局所性番号を計算可能にし、実世界への導入の可能性を秘めている。