[論文レビュー] Graph and Union of Graphs Compositions

W. Bajguz|ArXiv.org|Jan 31, 2006

Advanced Graph Theory Research参考文献 1被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、共有頂点または共有辺を介して接続された小さなグラフから成る木構造のグラフを構築するための新規フレームワークを提示する。この構造では、グラフの合成を再帰的に計算可能となる。特に完全グラフおよびサイクルグラフのEツリー（辺連結）およびVツリー（頂点連結）に対して、再帰的関係式を確立し、ベル数および2の累乗を含む閉形式の公式を導出する。

ABSTRACT

Knopfmacher et all [1] was introduced the graph compositions` notion. In this note we add to these a new construction of tree-like graphs where nodes are graphs themselves. The first examples of these tree-like compositions, a corresponding theorem and resulting conclusions are provided.

研究の動機と目的

• 個々のグラフにとどまらず、複数のグラフを結合して得られる複合構造へのグラフ合成の概念を拡張すること。
• 共有頂点または共有辺を介して部分グラフを繰り返し接続することで構築されたグラフにおける合成数を再帰的に計算する手法を開発すること。
• 完全グラフ $K_n$ およびサイクルグラフ $C_n$ から構成されるEツリーおよびVツリーにおける合成数の明示的公式を提供すること。
• 結合および縮約操作を用いて、グラフ合成に関する既知の結果を階層的グラフ構造へ一般化すること。

提案手法

• 頂点集合の連結な誘導部分グラフへの分割としてグラフ合成を定義する。
• VツリーおよびEツリーを再帰的構成として導入し、グラフを頂点（Vツリー）または辺（Eツリー）を同一視することで接続する。
• 定理1を用いて、共通頂点が高々1つの非交差グラフに対して、$C(G_1 \bigcup G_2) = C(G_1) \times C(G_2)$ が成り立つことを示す。
• 共通頂点がちょうど2つで、1つの共通辺を持つグラフに対して定理2を導出し、$C(G \bigcup H) = C(G)C(H) + 2C(G/k)C(H/k) - C(G)C(H/k) - C(G/k)C(H)$ を得る。
• Eツリーにおける共有辺の挙動をモデル化するため、辺$k$の頂点を同一視する操作$G/k$を導入する。
• 定理3を用いてEツリーにおける再帰的関係式を確立し、$C(T_{r+1})$および$C(T_{r+1}/k_{r+1})$ を$C(T_r)$、$C(T_r/k_r)$、および$B_n$などのグラフ不変量を用いて表現する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 共有頂点または共有辺を介して小さなグラフを結合して得られるグラフにおける合成数を再帰的に計算するにはどうすればよいか？
• RQ2 完全グラフ$K_n$のEツリーにおける合成数を支配する再帰的関係式は何か？
• RQ3 同様の再帰的構成において、サイクルグラフ$C_n$の合成は完全グラフ$K_n$のそれとどのように異なるか？
• RQ4 共有辺構造がEツリーにおける合成数に与える影響は何か、特に複数のコピーが共通の辺を共有する場合に注目する。
• RQ5 ベル数および再帰的関係式を用いて、$K_n$および$C_n$の構造的Eツリーにおける合成数に対して閉形式の式を導出できるか？

主な発見

• 頂点数$n$のグラフ$G_1, \text{...}, G_n$からなるVツリー$T$に対して、合成数は$C(T) = \bigotimes_{i=1}^n C(G_i)$ で与えられ、乗法的独立性が示される。
• 共通辺を3つ以上共有しない$K_n$のEツリーに対して、$C(T_{r+1}) = (B_n - 2B_{n-1} + 2B_{n-2})C(T_r) + (B_{n-1}^2 - B_n B_{n-2})C(T_{r-1})$ が成り立ち、ここで$B_n$は$n$番目のベル数である。
• $K_n$のEツリーで、すべてのコピーが共通の辺$k$を共有する場合、$C(T_{r+1}) = (B_n - B_{n-1})C(T_r) + (2B_{n-1} - B_n)B_{n-1}^r$ が成り立ち、閉形式の再帰的関係が得られる。
• $C_n$のEツリーに対しては、$C(T_{r+1}) = (2^{n-1} - n + 2)C(T_r) + ((n-4)2^{n-2} + 1)C(T_{r-1})$ が得られ、$B_n$を$2^n - n$に置き換えることで導出される。
• ラッパーグラフ$L_n$（$C_4$のEツリー）に対して、$C(L_{n+1}) = 6C(L_n) + C(L_{n-1})$ が成り立ち、既知の結果と一致する。
• ブレイクホイール$W_n^*$（$C_3$のEツリー）に対して、$C(W_{n+1}^*) = 3C(W_n^*) - C(W_{n-1}^*)$ が成り立ち、先行研究と整合的である。