[論文レビュー] Graph Automorphism and Topological Characterization of Synthetic and Natural Complex Networks by Information Content.

Héctor Zenil, Fernando Soler Toscano+2 more|arXiv (Cornell University)|Jun 3, 2013

Computability, Logic, AI Algorithms被引用数 3

ひとこと要約

本稿では、グラフ隣接行列にコルモゴロフ・コンプレックスィティの近似法（無損失圧縮およびブロック分解法（BDM））を適用し、合成ネットワークおよび自然ネットワークのアルゴリズム的ランダムネスと自己同型群構造を特徴付けることを提案する。スケールフリー（バラバシ＝アルバート）およびスモールワールド（ワッツ＝ストロガッツ）ネットワークは、エドス＝レニーのランダムグラフよりも低いアルゴリズム的複雑性を示し、ネットワーク生成メカニズムとアルゴリズム的情報理論との間に相関があることが明らかになった。

ABSTRACT

We show that numerical approximations of Kolmogorov complexity (K) applied to graph adjacency matrices capture some group-theoretic and topological properties of graphs and empirical networks ranging from metabolic to social networks. That K and the size of the group of automorphisms of a graph are correlated opens up interesting connections to problems in computational geometry, and thus connects several measures and concepts from complexity science. We show that approximations of K characterise synthetic and natural networks by their generating mechanisms, assigning lower algorithmic randomness to complex network models (Watts-Strogatz and Barabasi-Albert networks) and high Kolmogorov complexity to (random) Erdos-Renyi graphs. We derive these results via two different Kolmogorov complexity approximation methods applied to the adjacency matrices of the graphs and networks. The methods used are the traditional lossless compression approach to Kolmogorov complexity, and a normalised version of a Block Decomposition Method (BDM) measure, based on algorithmic probability theory.

研究の動機と目的

• 数値的近似によるコルモゴロフ・コンプレックスィティが、複雑ネットワークの群論的性質およびトポロジカル性質を捉えられるかどうかを調査すること。
• グラフにおけるアルゴリズム的複雑性と自己同型群のサイズとの関係を検討すること。
• ワッツ＝ストロガッツ、バラバシ＝アルバート、エドス＝レニーの合成ネットワークおよび代謝、社会の実世界ネットワークを、それらのアルゴリズム的ランダムネスに基づいて特徴付けること。
• 隣接行列に対する2つのコルモゴロフ・コンプレックスィティ近似法（無損失圧縮および正規化BDM）の有効性を比較すること。
• アルゴリズム的複雑性、ネットワーク生成メカニズム、計算幾何学の概念との関連を探索すること。

提案手法

• コルモゴロフ・コンプレックスィティ（K）の代理として、隣接行列に無損失圧縮アルゴリズムを適用する。
• アルゴリズム的確率論に基づく正規化ブロック分解法（BDM）を用いて、隣接行列からKを推定する。
• 各グラフの自己同型群のサイズを計算し、アルゴリズム的複雑性推定値と相関をとらえる。
• 2つのK近似法を用いて、合成ネットワーク（ワッツ＝ストロガッツ、バラバシ＝アルバート、エドス＝レニー）および実世界ネットワーク（代謝、社会）を分析する。
• 2つの複雑性推定技術を用いて、ネットワークの背後にある生成メカニズムとアルゴリズム的ランダムネスの関係を比較分析する。
• 情報理論的指標を用いて、構造的対称性（自己同型）とアルゴリズム的複雑性を結びつける。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 コルモゴロフ・コンプレックスィティ近似法は、グラフにおける自己同型群のサイズとどのように相関するか？
• RQ2 アルゴリズム的複雑性は、優先的付加とランダム再接続といった異なる生成メカニズムを持つネットワークモデルを区別できるか？
• RQ3 ワッツ＝ストロガッツやバラバシ＝アルバートのような合成ネットワークは、エドス＝レニーのランダムグラフよりも低いアルゴリズム的ランダムネスを示すか？
• RQ4 無損失圧縮と正規化BDMは、グラフ隣接行列におけるアルゴリズム的複雑性推定において、どのように比較されるか？
• RQ5 実世界の複雑ネットワークにおけるトポロジカル構造とアルゴリズム的情報含量の関係は何か？

主な発見

• 優先的付加（バラバシ＝アルバート）およびスモールワールド（ワッツ＝ストロガッツ）メカニズムで生成された合成ネットワークは、エドス＝レニーのランダムグラフよりも低いアルゴリズム的複雑性を示す。
• エドス＝レニーのランダムグラフは高いコルモゴロフ・コンプレックスィティが割り当てられ、より高いアルゴリズム的ランダムネスを示している。
• 無損失圧縮および正規化BDMという2つのコルモゴロフ・コンプレックスィティ近似法は、ネットワークタイプにかかわらず一貫した結果をもたらした。
• 自己同型群のサイズとグラフの推定アルゴリズム的複雑性との間に強く相関する関係が観察された。
• 結果から、アルゴリズム的複雑性は、複雑ネットワークの生成メカニズムを特定するための判別的指標として機能しうると示唆された。
• 本研究では、アルゴリズム的情報理論と、ネットワークにおける対称性といった群論的性質（例：自己同型）との間の関係が確立された。