[論文レビュー] Graph colouring and the total Betti number

Alexander Engström|arXiv (Cornell University)|Dec 29, 2014

Topological and Geometric Data Analysis参考文献 16被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、離散モース理論とポセット写像を用いて、グラフの独立複体の総ベッチ数に対する上界を、頂点に交わらないサイクルの数の観点から確立する。Ramanujanグラフの高彩色数と対数的サイクル長を有する部分グラフでさえ、同サイズの特定の平面グラフに比べて低い総ベッチ数を持つことが示され、小規模な部分グラフでは彩色数の高さをベッチ数によって検出できないことが示唆される。

ABSTRACT

The total Betti number of the independence complex of a graph is an intriguing graph invariant. Kalai and Meshulam have raised the question on its relation to cycles and the chromatic number of a graph, and a recent conjecture on that theme was proved by Bonamy, Charbit and Thomasse. We show an upper bound on the total Betti number in terms of the number of vertex disjoint cycles in a graph. The main technique is discrete Morse theory and building poset maps. Ramanujan graphs with arbitrary chromatic number and girth log(n) is a classical construction. We show that any subgraph of them with less than n^0.003 vertices have smaller total Betti number than some planar graph of the same order, although it is part of a graph with high chromatic number.

研究の動機と目的

• グラフの彩色数とその独立複体の総ベッチ数との関係を理解すること。
• 部分グラフにおける高い総ベッチ数が、彩色数に対する位相的下界として機能しうるかどうかを調査すること。
• 高彩色数グラフの小規模な部分グラフが、どの程度高いベッチ数を示せるかを特定すること。
• Ramanujanグラフと同階数の平面グラフにおけるベッチ数の増加度を比較すること。
• グラフ内のサイクル構造に基づいて、総ベッチ数に対する定量的上界を確立すること。

提案手法

• 独立複体におけるアセイクリックマッチングの最小臨界セル数を用いて、総ベッチ数を上界で制約するための離散モース理論を用いる。
• ポセット写像とマッチング分解技術を適用し、グラフの独立複体を再帰的に分析する。
• VossによるErdős–Pósa定理の証明の洗練版を用いて、サイクル構造とベッチ数の上界を関連付ける。
• ルカス数を用いた組合せ的数え上げを用いて、タイトな漸近的上界を導出する。
• 高彩色数と対数的サイクル長を有するRamanujanグラフの部分グラフを分析し、それらの部分グラフのベッチ数を平面グラフと比較する。
• 比較のベンチマークとして、超多項式的に増加するベッチ数を示す明示的な平面グラフ（六角形デイマーラティス）を構築する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 グラフの独立複体の総ベッチ数は、その彩色数に対する位相的下界として機能しうるか？
• RQ2 グラフ内の頂点に交わらないサイクルの数は、その独立複体の総ベッチ数にどのような制約を課えるか？
• RQ3 高彩色数と対数的サイクル長を有するRamanujanグラフの部分グラフは、平面グラフに比べて依然として低い総ベッチ数を示すか？
• RQ4 高サイクル長グラフにおいて、彩色数をベッチ数の増加によって検出できる最小の部分グラフサイズは何か？
• RQ5 k個の頂点に交わらないサイクルを用いた総ベッチ数の上界はタイトか？また、現在の指数を超えて改善可能か？

主な発見

• 頂点に交わらないサイクルが高々k ≥ 2個のグラフに対して、総ベッチ数は(1+√5/2)^((2+o(1))k log k)で上界される。
• この上界は、K₅の互いに交わらないコピーを用いた構成により、指数内の定数に関してタイトであることが示された。
• 彩色数χでサイクル長が~log nのRamanujanグラフの部分グラフの総ベッチ数は、同サイズの平面グラフのそれよりも小さい。
• 特に、(log n)/(3 log χ) · n^{0.003 / log χ}個未満の頂点を有する任意の部分グラフは、対応する平面部分グラフよりも低いベッチ数を持つ。
• 六角形デイマーラティスに基づく平面グラフは、サイズmの部分グラフに対して、2^{(m−40√m)/36}の割合でベッチ数が増加する。
• この結果は、高彩色数Ramanujanグラフにおいて、n^{0.003}未満のサイズの部分グラフでは、ベッチ数の増加によって彩色数を検出できないことを示唆する。