[論文レビュー] Graph complexity and Mahler measure

Daniel S. Silver, Susan G. Williams|arXiv (Cornell University)|Jan 21, 2017

Cellular Automata and Applications参考文献 1被引用数 8

ひとこと要約

本稿は、d周期的グラフのラプラシアン行列式多項式のマーラー測度と、グラフのラプラシアン群の torsion 部分群の位数として定義されるグラフの複雑さの間の深い関係を確立する。マーラー測度は、有限商の複雑さの指数的増加率に等しくなり、整係数多項式の最小マーラー測度に関するレーマーの予想が、±1 エッジ重みをもつ 1周期的グラフにおける複雑さの増加率に関する問いに同値であることを示す。

ABSTRACT

The (torsion) complexity of a finite edge-weighted graph is defined to be the order of the torsion subgroup of the abelian group presented by its Laplacian matrix. When G is d-periodic (i.e., G has a free action of the rank-d free abelian group by graph automorphisms, with finite quotient) the Mahler measure of its Laplacian determinant polynomial is the growth rate of the complexity of finite quotients of G. Lehmer's question, an open question about the roots of monic integral polynomials, is equivalent to a question about the complexity growth of edge-weighted 1-periodic graphs.

研究の動機と目的

• 有限でエッジ重み付きグラフの (torsion) 複雑さを、ラプラシアン行列の torsion 部分群の位数として定義し、その性質を調査すること。
• d周期的グラフへこの複雑さを、そのラプラシアン行列式多項式のマーラー測度を用いて拡張すること。
• d周期的グラフの有限商における複雑さの指数的増加率が、マーラー測度によって定量できることを確立すること。
• 整係数多項式の最小マーラー測度に関するレーマーの予想が、±1 エッジ重みをもつ 1周期的グラフにおける複雑さの増加率に関する問いに同値であることを示すこと。
• 非重み付き d周期的グラフについての新たな結果を提供し、複雑さの増加率の上限とグリッドグラフの漸近的挙動を含む。

提案手法

• 有限エッジ重み付きグラフに対してラプラシアン行列 $ L_G $ を定義し、その torsion 部分群の位数を計算することで (torsion) 複雑さ $ \kappa_G $ を定義する。
• d周期的グラフに対して、変数 $ x_1^{\pm 1}, \dots, x_d^{\pm 1} $ を用いてラプラシアン作用素を定義し、$ L_G $ の行列式としてラプラシアン多項式 $ D_G $ を導出する。
• 文献[28]の主要結果を適用し、マーラー測度 $ M(D_G) $ が、$ G $ の有限商 $ G_\lambda $ における $ \kappa_{G_\lambda} $ の指数的増加率に等しいことを示す。
• マトリックスツリー定理と小行列式の性質を用い、特に $ \tau_G = 0 $ の場合に $ \kappa_G $ を $ L_G $ の主小行列式の絶対値と関連付ける。
• 正則グラフに関するアロンの定理を適用し、有限商の木の複雑さ $ \tau_{G\lambda} $ を評価し、増加率の漸近的挙動を導出する。
• 三角恒等式と積分表現を用いて、2つのエッジ軌道をもつ 1周期的グラフにおける $ \log M(D_{G'}) $ を評価し、$ \log M(D_{G'}) \geq \log 2 $ を証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 d周期的グラフのラプラシアン多項式のマーラー測度は、その有限商における複雑さの増加率とどのように関係するか？
• RQ2 レーマーの予想は、±1 エッジ重みをもつ 1周期的グラフにおける最小複雑さ増加率に関する問いに同値か？
• RQ3 d次元グリッドグラフ $ \mathbb{G}_d $ について、$ d \to \infty $ のときの複雑さ増加率の漸近的挙動は何か？
• RQ4 2つのエッジ軌道をもつ 1周期的グラフのラプラシアン多項式のマーラー測度は、$ \log 2 $ 以上に下から抑えられるか？
• RQ5 d周期的グラフにおいて、エッジの縮約および商演算の下での複雑さ増加率の挙動はいかなるか？

主な発見

• d周期的グラフ $ G $ のラプラシアン多項式 $ D_G $ のマーラー測度は、その有限商 $ G_\lambda $ の torsion 複雑さ $ \kappa_{G_\lambda} $ の指数的増加率に等しい。
• ±1 エッジ重みをもつ 1周期的グラフでは、複雑さ増加率が $ \log 2 $ 以上に下から抑えられ、等号成立は特殊な場合に限る。
• レーマーの予想は、±1 エッジ重みをもつすべての 1周期的グラフにおける複雑さ増加率の下界が正であるという命題に同値である。
• d次元グリッドグラフ $ \mathbb{G}_d $ の複雑さ増加率 $ \gamma_{\mathbb{G}_d} $ は $ \gamma_{\mathbb{G}_d} \leq \log 2d $ を満たし、$ d \to \infty $ の極限で等号が成り立つ。
• 任意の非ゼロ複雑さ増加率をもつ 1周期的グラフ $ G $ に対して $ \gamma_G \geq \log 2 $ が成り立ち、等号成立は $ G $ が木であるか、特定の2軌道構造をもつ場合に限る。
• 2つのエッジ軌道 $ r=1, s $ をもつ 1周期的グラフのラプラシアン多項式のマーラー測度は、$ \log 8 + \int_0^1 \log|\sin(\pi\theta)| d\theta + \int_0^1 \log|\sin(\pi s\theta)| d\theta $ 以上に下から抑えられ、この値は少なくとも $ \log 2 $ に等しい。