[論文レビュー] Graph connectivity in log steps using label propagation

Burkhardt, Paul|arXiv (Cornell University)|Aug 20, 2018

Digital Image Processing Techniques被引用数 9

ひとこと要約

本稿では、無向グラフの連結性を扱う単純で決定的であるラベル伝播アルゴリズムを提案する。この手法は、PRAM、Stream、MapReduceモデルにおいて、交互に有向辺を伝播させ、最小ラベルの削減を行うことで、O(log n)ステップで対数的収束を達成する。各ステップでエッジ数を増加させることなく線形の作業量を維持する。収束は多様なグラフ上で実験的にO(log n)であると観察されているが、形式的証明は未解決の問題のままである。

ABSTRACT

The fastest deterministic algorithms for connected components take logarithmic time and perform superlinear work on a Parallel Random Access Machine (PRAM). These algorithms maintain a spanning forest by merging and compressing trees, which requires pointer-chasing operations that increase memory access latency and are limited to shared-memory systems. Many of these PRAM algorithms are also very complicated to implement. Another popular method is "leader-contraction" where the challenge is to select a constant fraction of leaders that are adjacent to a constant fraction of non-leaders with high probability. Instead we investigate label propagation because it is deterministic and does not rely on pointer-chasing. Label propagation exchanges representative labels within a component using simple graph traversal, but it is inherently difficult to complete in a sublinear number of steps. We are able to solve the problems with label propagation for graph connectivity. We introduce a surprisingly simple framework for deterministic graph connectivity using label propagation that is easily adaptable to many computational models. It propagates directed edges and alternates edge direction to achieve linear edge count each step and sublinear convergence. We present new algorithms in PRAM, Stream, and MapReduce for a simple, undirected graph $G=(V,E)$ with $n=|V|$ vertices, $m=|E|$ edges. Our approach takes $O(m)$ work each step, but we can only prove logarithmic convergence on a path graph. It was conjectured by Liu and Tarjan (2019) to take $O(\log n)$ steps or possibly $O(\log^2 n)$ steps. We leave the proof of convergence as an open problem.

研究の動機と目的

• ポインターチェージや複雑なエッジ管理を回避する、決定的で容易に実装可能なグラフ連結性アルゴリズムの開発。
• 複数の計算モデルにおいて、プロセッサ数に依存せずに対数的収束時間（O(log n)）を達成すること。
• グラフ内のエッジ数を増加させずに、各ステップでO(m)の作業量を維持すること。
• PRAM、Stream、MapReduceモデルに最小限の実装複雑性で適応可能なフレームワークの提供。
• パスグラフ、グリッドベースのグラフ、実世界のネットワークを含む困難なグラフ族における高速収束の実験的妥当性の検証。

提案手法

• 有向エッジを交互に方向転換させることで、双方向の最小ラベル交換を可能にするラベル伝播を実行する。
• 各エッジ (v, u) に対して、u の現在の最小ラベル l(u) が v のラベルでない場合、l(v) を u に伝播する。そうでない場合は、対称化が適用される。
• 各ステップで頂点ラベルに対して最小値の削減を実行し、各成分内の最小頂点IDに向かってラベルが伝播することを保証する。
• 正しく同期せずに正しい性質を保つために、アトミックな比較・スワップ操作を用いてエッジリストを並列に更新する。
• ラベル変更の回数をカウントするカウンタを用いる。ラベルの更新がこれ以上発生しなくなった時点でアルゴリズムは終了し、スターベースのグラフ（成分のルートが最小ラベル）に収束したと判断する。
• 各ステップでエッジを新しいものに置き換えることで、エッジ数を安定的に維持し、各イテレーションでO(m)の作業量を保つ。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 エッジ数を増加させずに、ラベル伝播がグラフ連結性においてサブ線形収束を達成できるか？
• RQ2 ポインターチェージや複雑な同期を回避する、決定的で単純かつスケーラブルな連結成分アルゴリズムを設計可能か？
• RQ3 交互な伝播と最小値削減戦略は、一般のグラフにおいてO(log n)の収束をもたらすか？
• RQ4 高径路長のパスやブリッジノードを含むグリッドベースのグラフのような困難なグラフ族において、アルゴリズムの性能はいかがなものか？
• RQ5 PRAM、Stream、MapReduceなどの複数の計算モデルに、効率的に適応可能か？

主な発見

• パスグラフでは、アルゴリズムはO(log n)ステップで収束し、φ ≈ 1.618 のφを用いたlogφ nの予測と一致する。さらに、完了テストに1ステップ余分に要する。
• 大規模なパスグラフ（例：seqpath26、6700万頂点）では、収束が40ステップで発生し、理論的予測とよく一致する。
• ブリッジノードを含むグリッドベースのグラフ（例：grid-0to16777216by24）では、直径Dに対して線形に収束し、D=48の場合は26ステップで収束する。
• com-Friendster や com-Orkut のような実世界のネットワークでは、巨大なサイズと低径路長にもかかわらず、それぞれ9ステップおよび6ステップで収束する。
• すべてのテスト済みの実世界グラフにおいて、O(log n)の収束が達成されており、実用的なスケーラビリティとプロセッサ数に依存しない独立性を示している。
• 現時点では最先端の手法に匹敵しないが、単純さと高速な収束の恩恵により、大幅な性能向上の余地がある、有望な実行時間性能を示している。