[論文レビュー] Graph inverse semigroups, groupoids and their C*-algebras

Alan L. T. Paterson|ArXiv.org|Apr 23, 2003

Advanced Operator Algebra Research参考文献 20被引用数 81

ひとこと要約

本稿は、局所的有限グラフに限らない一般化されたグラフ C*-代数の群札的アプローチを、グラフ逆半群を導入し、普遍群札を構成することで、無限路と特定の有限路を含むパス群札を導出することによって、それらを拡張する。主な貢献は、W. Szymańskiの単純性定理に対する群札的証明であり、単純性が成り立つのは、グラフが条件(K)を満たし、余帰着可能であり、すべての頂点からすべての無限出力頂点へ路が存在する場合に限ることを示している。

ABSTRACT

We develop a theory of graph C*-algebras using path groupoids and inverse semigroups. Row finiteness is not assumed so that the theory applies to graphs for which there are vertices emitting a countably infinite set of edges. We show that the path groupoid is amenable, and give a groupoid proof of a recent theorem of Szymanski characterizing when a graph C*-algebra is simple.

研究の動機と目的

• 任意の可算有向グラフへの群札的実現の一般化を、局所的有限性の仮定を外して行う。
• 頂点と辺から生成される、Cuntzに類似した関係を満たすグラフ逆半群 $ S_{\mathcal{E}} $ を定義し、普遍群札の構成を可能にする。
• 無限路と $ V_\infty $（無限に多くの出力辺を有する頂点）で終わる特定の有限路を含むユニットを有するパス群札を構成する。
• パス群札のアメニタリティを示し、グラフ C*-代数の単純性の群札的特徴付けを確立する。
• 群札の最小性と条件(K)を用いて、W. Szymańskiの単純性定理の新たな証明を与える。

提案手法

• グラフ $ \mathcal{E} $ の頂点と辺から生成される逆半群として、パスの合成と直交性を符号化する Cuntzに類似した関係を満たすグラフ逆半群 $ S_{\mathcal{E}} $ を定義する。
• 逆半群の普遍群札構成を用い、$ S_{\mathcal{E}} $ に対して $ C^*(S_{\mathcal{E}}) \cong C^*(H) $ を満たす、普遍的 $ r $-離散群札 $ H $ を関連付ける。
• パス群札 $ G $ を $ H $ の還元として構成し、ユニットにはすべての無限路と $ V_\infty $ で終わる有限路を含める。
• 常にアメニタリティを示し、$ C^*(G) = C^*_{\text{red}}(G) $ が成り立つため、減少 C*-代数の技法を用いることが可能になる。
• ユニット空間の閉じた $ G $-不変部分集合に関する位相的議論を用い、$ G $ が本質的に主であることは、$ \mathcal{E} $ が条件(K)を満たすときに限ることを示す。
• $ C^*(\mathcal{E}) \cong C^*(G) $ を確立し、本質的に主な群札における単純性と最小性の同値性を用いて単純性定理を証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 局所的有限でないグラフに対して、グラフ C*-代数の群札的モデルをどのように拡張できるか？
• RQ2 一般の場合におけるパス群札の背後にある逆半群構造は何か？ そして、C*-代数とどのように関係するか？
• RQ3 パス群札のユニット空間に、無限出力頂点で終わる有限路が含まれる理由は何か？ それらの役割は何か？
• RQ4 パス群札 $ G $ が最小であるのはどのような条件下か？ そして、これは $ C^*(\mathcal{E}) $ の単純性とどのように関係するか？
• RQ5 アメニタリティと本質的主性を用いて、W. Szymańskiの単純性定理の群札的証明を可能にするか？

主な発見

• パス群札 $ G $ は常にアメニタリティを満たすため、その全 C*-代数と減少 C*-代数が一致する。
• グラフ逆半群 $ S_{\mathcal{E}} $ は、頂点を長さ0のパスとして含むパス対の逆半群に同型である。
• パス群札 $ G $ が本質的に主であることは、グラフ $ \mathcal{E} $ が条件(K)を満たすときに限る。
• $ C^*(\mathcal{E}) $ は $ C^*(G) $ に同型であり、これは局所的有限の場合の一般化である。
• $ C^*(\mathcal{E}) $ が単純であることは、$ \mathcal{E} $ が条件(K)を満たし、余帰着可能であり、すべての頂点からすべての無限出力頂点へ路が存在するときに限る。
• 本稿は、$ G $ の最小性を主条件として用いた、W. Szymańskiの単純性定理の群札的証明を提供する。