[論文レビュー] Graph isomorphism and volumes of convex bodies

Shmuel Friedland|ArXiv.org|Nov 9, 2009

Point processes and geometric inequalities参考文献 15被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、グラフ同型性問題と、原点を中心とする半径が増加する球と交わる特定の凸多面体の体積の等価性との間で、新しい同値関係を確立する。既知の完全に確率的で多項式時間近似スキーム（fpras）を用いて、体積計算のためのfprasを活用することで、2つのグラフの同型性をテストする半分fpras（semi-fpras）を導出し、その複雑度はO*(n¹⁴)である。これは、長年のグラフ同型性問題の計算複雑度を解明する可能性を秘めた道筋を提供する。

ABSTRACT

We show that a nontrivial graph isomorphism problem of two undirected graphs, and more generally, the permutation similarity of two given $n imes n$ matrices, is equivalent to equalities of volumes of the induced three convex bounded polytopes intersected with a given sequence of balls, centered at the origin with radii $t_i\in (0,\sqrt{n-1})$, where $\{t_i\}$ is an increasing sequence converging to $\sqrt{n-1}$. These polytopes are characterized by $n^2$ inequalities in at most $n^2$ variables. The existence of fpras for computing volumes of convex bodies gives rise to a semi-frpas of order $O^*(n^{14})$ at most to find if given two undirected graphs are isomorphic.

研究の動機と目的

• グラフ同型性を、凸多面体の幾何的体積の等価性という観点から新たな特徴づけをすること。
• グラフ同型性問題を、有界な凸集合の体積比較の系列に還元すること。
• 既存の凸体積計算のfprasを活用し、グラフ同型性テストのための半分fprasを設計すること。
• 同調代数と二重確率的制約を用いて、行列の置換的類似性の幾何的フレームワークを提供すること。
• まだNP完全でもPに属するかどうかも不明なグラフ同型性問題に対して、多項式時間のアプローチの可能性を提示すること。

提案手法

• 線形行列方程式SX - XT = 0と非負制約X ≥ -Jₙを満たす解として、3つの凸多面体P(A,A)、P(A,B)、P(B,B)を定義する。
• これらの多面体のフロベニウスノルム半径を用いて同型性を特徴づける：GとHが同型であるとは、||P(A,B)||_F = √(n-1)であることと同値である。
• 解空間P₀(A,A)、P₀(A,B)、P₀(B,B)からℝ^Δへの直交射影T₁、T₂、T₃を構築し、内積を保存するとともに、多面体をΔ次元空間内の新たな有界多面体X₁、X₂、X₃に変換する。
• 射影された多面体Xᵢを、不等式u_{(i,j),l}ᵀx ≥ -1/nで定義される半空間の交差として表現する。ここで、ベクトルuは多項式時間で計算可能である。
• 半径tⱼ = 2^{j/N}/nである入れ子の球B(0, tⱼ)の系列上で、確率的体積推定アルゴリズムを適用する。この範囲は(1/n, √(n−1))をカバーする。
• 各jについて、i=1,2,3の各多面体Xⱼ,ᵢの体積比vol(Xⱼ,ᵢ)/vol(Xⱼ₋₁,ᵢ)が等しいかをテストする。相対誤差εの範囲内で等しければ、同型性である確率が高くなる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 グラフ同型性問題は、凸多面体の体積比較の系列に還元可能か？
• RQ2 2つの行列の置換的類似性は、凸多面体とそれらの球との交差を用いて幾何的に特徴づけられるか？
• RQ3 凸体積計算の完全に確率的で多項式時間の近似スキーム（fpras）を用いて、グラフ同型性のための半分fprasを設計できるか？
• RQ4 射影された多面体の体積の等価性を用いた同型性テストの計算複雑度は何か？
• RQ5 半径が増加する球と交わる多面体P(A,A)、P(A,B)、P(B,B)の体積が等しいことは、グラフ同型性を意味するか？

主な発見

• グラフ同型性問題は、すべてのt ∈ (0, √(n−1))の増加列で√(n−1)に収束するような、多面体P(A,A)、P(A,B)、P(B,B)と球の交差の体積が等しいことに同値である。
• 同型性が成立するためには、解空間P₀(A,A)、P₀(A,B)、P₀(B,B)の次元が等しくなければならない。これは必要条件である。
• 凸体積の計算のfprasの存在が、グラフ同型性テストの半分fpras（複雑度O*(n¹⁴)）を可能にする。
• すべてのjについて、体積比vol(Xⱼ,₁)/vol(Xⱼ₋₁,₁)、vol(Xⱼ,₂)/vol(Xⱼ₋₁,₂)、vol(Xⱼ,₃)/vol(Xⱼ₋₁,₃)が相対誤差εの範囲内で等しければ、同型性であると高確率で確認できる。
• アルゴリズムの実行時間はO*(n¹⁴)であり、O*表記はlog nおよびΔの多項式因子を吸収している。ここでΔ ≤ (n−1)²は解空間の次元である。
• 本手法は、正規直交変換による解空間のΔ次元空間への射影に依存しており、これにより既知の確率的アルゴリズムを用いた効率的な体積推定が可能になる。