[論文レビュー] Graph Isomorphism for Bounded Genus Graphs In Linear Time

Ken‐ichi Kawarabayashi|arXiv (Cornell University)|Nov 8, 2015

Advanced Graph Theory Research参考文献 40被引用数 7

ひとこと要約

本稿では、有界オイラー付随数をもつグラフにおけるグラフ同型性のための最初の線形時間アルゴリズムを提示する。長年の未解決問題を解決するものであり、多面体的埋め込み、面幅制約、および頂点2点カットによる正規化分解を活用することで、同型性テストを、固定された付随数 g に対して O(n) 時間で実行可能な平面的または多面体的部分グラフ上のマップ同型性に還元する。

ABSTRACT

For every integer $g$, isomorphism of graphs of Euler genus at most $g$ can be decided in linear time. This improves previously known algorithms whose time complexity is $n^{O(g)}$ (shown in early 1980's), and in fact, this is the first fixed-parameter tractable algorithm for the graph isomorphism problem for bounded genus graphs in terms of the Euler genus $g$. Our result also generalizes the seminal result of Hopcroft and Wong in 1974, which says that the graph isomorphism problem can be decided in linear time for planar graphs. Our proof is quite lengthly and complicated, but if we are satisfied with an $O(n^3)$ time algorithm for the same problem, the proof is shorter and easier.

研究の動機と目的

• オイラー付随数が g 以下のグラフにおけるグラフ同型性のための、パrameter固定可能で線形時間のアルゴリズムを開発すること。
• 高付随数の曲面上では埋め込みの数が指数的になるという問題を克服し、これまでは n^{O(g)} 時間に制限されていた。
• ホプクロフトとウォンの1974年の線形時間平面グラフ同型性アルゴリズムを、より高い付随数の曲面へ一般化すること。
• 3連結グラフで面幅 ≥3 の場合、そのようなグラフは高々 f(g) 個の異なる多面体的埋め込みを持つことを確立し、効率的な同型性チェックを可能にする。
• 頂点2点カットによる正規化分解を用いて、グラフを管理可能な部分グラフに分解し、同型性テストを可能にする。

提案手法

• 有界付随数の曲面上での一意な埋め込みを活用して、グラフ同型性問題をマップ同型性問題に還元する。
• 面幅 ≥3 の埋め込みを用いて、多面体的構造を保証する。ここで、面は頂点または辺でのみ交差する。
• 頂点2点カットにおける正規化頂点分割を適用して、グラフを平面的または多面体的部分グラフに分解する。
• 各段階で正規化表現を維持する再帰的分解戦略を採用する。
• 定理2.1を活用し、彩色付き頂点を持つ部分グラフに還元した後、マップ同型性を O(n) 時間でテストする。
• 正規化部分グラフの同型性から、元のグラフの同型性を O(n) 時間で再構成する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 有界付随数グラフにおけるグラフ同型性問題は、以前の n^{O(g)} の障壁を克服して、線形時間で解けるか？
• RQ2 高付随数の曲面上の指数的埋め込み数を制御する方法は何か？ これにより、効率的な同型性テストが可能になる。
• RQ3 3連結グラフを、有界付随数の曲面上で管理可能な部分グラフに、正規化可能な方法で分解できるか？
• RQ4 面幅 ≥3 の埋め込みの構造を用いることで、各付随数ごとに異なる埋め込みが有限個に制限されることを保証できるか？ これによりアルゴリズムの実行可能性が保証される。
• RQ5 平面的または多面体的部分グラフ上のマップ同型性への還元により、有界付随数グラフにおける線形時間の同型性テストが可能になるか？

主な発見

• オイラー付随数が g 以下のグラフにおけるグラフ同型性問題は、任意の固定された g に対して O(n) 時間で解ける。
• 任意の付随数 g に対して、関数 f(g) が存在し、面幅 ≥3 の3連結グラフは、g 次の曲面上で高々 f(g) 個の異なる多面体的埋め込みを持つ。
• 頂点2点カットにおける正規化頂点分割を用いて、グラフを平面的または多面体的部分グラフに分解し、同型性不変量を保持する。
• 彩色付き頂点を持つ部分グラフのマップ同型性は O(n) 時間でテスト可能であり、これによりグローバルな同型性の再構成が効率的に行える。
• 再帰的分解と正規化表現により、部分グラフの同型性チェック後、グローバルな同型性を O(n) 時間で決定できる。
• この結果により、ホプクロフトとウォンの1974年の線形時間平面グラフ同型性アルゴリズムが、すべての有界オイラー付随数の曲面へ一般化された。