[論文レビュー] Graph isomorphism is polynomial

Shmuel Friedland|arXiv (Cornell University)|Jan 2, 2008

Graph Theory and Algorithms被引用数 1

ひとこと要約

この論文は、n⁴個の非負変数における(4n − 1)n²個の連立方程式の可解性に帰着することで、グラフ同型性問題に対する多項式時間アルゴリズムを提案する。主な貢献は、2つのグラフが同型であるための必要十分条件が、この連立方程式系に非負解が存在することであることを証明し、グラフ同型性が多項式時間で解けることを確立することにある。

ABSTRACT

We show that the graph isomorphism problem is determined in a polynomial time. This is done by showing that that two graphs on n vertices are isomorphic if and only if a corresponding system of (4n − 1)n 2 equations in n 4 nonnegative variables is solvable.

研究の動機と目的

• グラフ同型性が多項式時間で解けるかどうかという長年の未解決問題を解明すること。
• 多項式方程式系を用いた、グラフ同型性の新しい代数的特徴づけを確立すること。
• 2つのグラフ間の同型性が、特定の非負変数を含む連立方程式系の可解性と同値であることを示すこと。
• グラフ同型性のための構成的かつ多項式時間の決定手続きを提供すること。

提案手法

• 2つのn頂点グラフの隣接行列に基づいて、n⁴個の非負変数における(4n − 1)n²個の連立方程式系を構築する。
• 方程式は、一方のグラフの隣接構造を他方のグラフに写像する置換行列の存在を捉える制約を符号化する。
• この連立方程式系には、グラフが同型である場合に限り非負解が存在するように設計されている。
• 実数体上での代数的技法を用いて、この連立方程式系の可解性を多項式時間で決定する。
• 変数の非負性を活用して、置換写像の組み合わせ的整合性を強制する。
• この還元により、連立方程式系のサイズがnに関して多項式的になるため、多項式時間での解法が可能になる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 グラフ同型性は、非負変数を含む多項式サイズの連立方程式系の可解性に還元可能か？
• RQ2 多項式時間の決定手続きを可能にする、グラフ同型性の特徴づけは存在するか？
• RQ3 特定の連立方程式系に非負解が存在することは、正確にグラフ同型性を捉えているか？
• RQ4 実数体上での代数的技法を用いて、グラフ同型性を多項式時間で解けるか？

主な発見

• グラフ同型性問題は、n⁴個の非負変数における(4n − 1)n²個の連立方程式の可解性をテストすることで、多項式時間で解ける。
• n頂点を持つ2つのグラフが同型であるための必要十分条件は、対応する連立方程式系に非負解が存在することである。
• 連立方程式系のサイズはnに関して多項式的であり、全体のアルゴリズムが多項式時間で実行されることを保証する。
• この手法により、非負変数を用いた完全な代数的特徴づけが得られる。
• この結果により、グラフ同型性がPに属することを示し、理論的コンピュータサイエンスにおける主要な未解決問題を解決した。