[論文レビュー] Graph labellings and external difference families

Gavin Angus, Sophie Huczynska+1 more|arXiv (Cornell University)|Mar 5, 2026

graph theory and CDMA systems被引用数 0

ひとこと要約

本論文は、グラフおよび有向グラフの頂点ラベリング（特に near α-値付けと有向 near α-値付け）とグラフの blow-up を組み合わせて digraph 定義の external difference families（EDF）を構築する枠組みを提示し、新しい無限族を含む2-CEDFを提供する。

ABSTRACT

Digraph-defined external difference families were recently introduced as a natural generalization of several well-studied combinatorial objects motivated by cryptography (e.g. external difference families (EDFs) and circular external difference families (CEDFs)). In this paper, we develop a systematic framework for using various types of vertex-labellings for graphs and digraphs to create digraph-defined external difference families. The approach is to combine suitable vertex-labellings (generalizations of $α$-valuations, namely near $α$-valuations and oriented near $α$-valuations) with a graph blow-up technique. Many new families are produced, including the first explicit construction for an infinite family of $2$-CEDFs, achieving all parameter sets for $(n,m,l;1)$-$2$-CEDFs with $m \equiv 0 \mod 4$ sets. Further, new results arise for graph labellings themselves (e.g. cyclotomy-based near $α$-valuations for a family of trees without $α$-valuations, and an $α$-valuation for sun graphs).

研究の動機と目的

• グラフのラベリング技巧を通じて EDF の動機付けと generalization を行う。
• グラフ/有向グラフの頂点ラベリングを digraph-defin ed EDF に体系的に変換する方法を開発する。
• グラフの blow-up 操作を利用して既存の構成を拡張し、EDF および CEDF の新しい族を生成する。
• m ≡ 0 (mod 4) の全てのパラメータ集合をカバーする初の明示的無限族としての 2-CEDF を提示する。
• near α-valuation（およびそれらの影響）とそれが EDF 構築に与える影響を探る。）

提案手法

• β-valuation および near α-valuation（および有向バリアント）を用いて、差集合を所定にする digraph を誘導する。
• ラベル順序に従って辺を有向化（自然な向き）して EDF 条件を実現する。
• グラフ blow-up および lexicographic 積を適用して、EDF 特性を保ちながらラベリングをより大きなグラフへ拡張する。
• α-valuations を持たない木に対して near α-valuations を得るためにサイクロトミーに基づく構成を活用する。
• Δ(A_j,A_i) 多重集合を通じて、ラベル付きグラフから Z_{n+1} の循環群における EDF を導出する。
• near α-valuation が (n,m,l,λ;G^p)-EDF 構造を Z_{n+1} に与えることを示す証明を提供する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 グラフおよび有向グラフの頂点ラベリングを用いて、digraph 定義 EDF を体系的に構築するにはどうすればよいか。
• RQ2 どのラベリング特性が、非零元の各グループ要素を正確に一度だけ覆う差集合を保証するために不可欠か。
• RQ3 blow-up および直積操作は near α-valuations を保存し、EDF 構築をより大きな族へ拡張できるか。
• RQ4 near α-valuations および orient のラベリングから、どのような新しい無限族の CEDF/2-CEDF が得られるか。
• RQ5 サイクロトミーに基づくラベリングは near α-valuation を持つ木を生み出し、既知の EDF レパートリーを拡張するか。

主な発見

• グラフラベル付き有向グラフを用いて digraph 定義 EDF を循環群に結びつける枠組みを確立した。
• near α-valuation を持つグラフは、 blow-up 構成を通じて Z_{|E|l^2+1} における (|E|l^2+1,|V|,l,1;G^p)-EDF を導くことを証明した。
• m ≡ 0 (mod 4) の全てのパラメータ集合をカバーする 2-CEDF の無限族の初の明示的構成を提供した。
• near α-valuation は α-valuations を持たないグラフにも存在しうることを示し、特定の木やサイクルの構成を含む。
• Lexicographic および弱テンソル積演算が near α-valuations を保存し、EDF の生成を広げられることを示した。
• サイクロトミーに基づく near α-valuations を提供し、α-valuations を持たない木でも near α-valuations を持つ構成を得た。