[論文レビュー] Graph polynomials and their applications I: The Tutte polynomial

Joanna A. Ellis-Monaghan, Criel Merino|ArXiv.org|Mar 20, 2008

Graph theory and applications参考文献 81被引用数 23

ひとこと要約

この論文は、削除・縮約操作を通じて多数のグラフ不変量を統一する、基本的な二変数グラフ多項式である Tutte 多項式について包括的なサーベイを提供する。多項式の普遍性は「レシピ定理」によって確立され、彩色、フロー、ネットワーク信頼性、物理的モデルへの応用が示され、有界な木幅を持つグラフにおける計算複雑性とアルゴリズム的アプローチが概説される。

ABSTRACT

In this survey of graph polynomials, we emphasize the Tutte polynomial and a selection of closely related graph polynomials. We explore some of the Tutte polynomial's many properties and applications and we use the Tutte polynomial to showcase a variety of principles and techniques for graph polynomials in general. These include several ways in which a graph polynomial may be defined and methods for extracting combinatorial information and algebraic properties from a graph polynomial. We also use the Tutte polynomial to demonstrate how graph polynomials may be both specialized and generalized, and how they can encode information relevant to physical applications. We conclude with a brief discussion of computational complexity considerations.

研究の動機と目的

• 削除・縮約操作を用いた multiplicative グラフ不変量としての Tutte 多項式の普遍的不変量としての確立。
• Tutte 多項式がグラフの多様な組合せ的および物理的性質をどのように表現するかの提示。
• 再帰的・生成関数的・特殊化技術を用いたグラフ多項式の分析のための方法論的フレームワークの提供。
• 他のグラフ多項式を研究するための中心的基準点としての多項式の役割の強調。
• 計算複雑性の取り扱いと、特に木幅またはクリーク幅が有界なグラフのクラスにおける tractable なケースの同定。

提案手法

• グラフの辺の削除および縮約操作を用いて、Tutte 多項式を再帰的に定義する。
• スパニング部分グラフとそのランクおよびヌルティの基づく生成関数的手法を用いて Tutte 多項式を定式化する。
• 「レシピ定理」を適用して、削除・縮約還元を持つ任意の multiplicative グラフ不変量が、Tutte 多項式の評価であることを証明する。
• Tutte 多項式を特殊化して既知の不変量を回復する：彩色多項式（頂点彩色）、フロー多項式（辺フロー）、信頼性多項式（ネットワーク信頼性）。
• Tutte 多項式の係数、零点、微分を分析して、構造的および組合せ的情報を抽出する。
• 木分解に基づく動的計画法などの計算技術を用いて、木幅が有界なグラフに対して多項式を効率的に計算する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 Tutte 多項式は、削除・縮約操作を通じてどのようにさまざまなグラフ不変量を統一するか？
• RQ2 Tutte 多項式の特定の評価からどのような組合せ的および物理的解釈が生じるか？
• RQ3 Tutte 多項式は、どのように一般化または特殊化され、さまざまなグラフ理論的現象をモデル化できるか？
• RQ4 Tutte 多項式を計算する際の計算複雑性は何か？ どのグラフクラスにおいては tractable か？
• RQ5 Tutte 多項式の係数、零点、微分は、元のグラフ構造をどのように反映するか？

主な発見

• Tutte 多項式は普遍的である：削除・縮約還元を持つ任意の multiplicative グラフ不変量は、その評価として得られる。
• Tutte 多項式の評価により古典的不変量が回復される：彩色多項式（T(1−x,0) = x^k P(G,x)）、フロー多項式（T(0,1−y)）、信頼性多項式。
• 木幅が有界なグラフに対しては、木分解に基づく動的計画法を用いて、線形時間で Tutte 多項式が計算可能である。
• Tutte 多項式の係数はランクおよびヌルティごとの部分グラフの数を数え、その零点はグラフの連結性および物理的モデルにおける相転移に関する情報を提供する。
• 多項式の特定の点における微分から、生成木の数や beta-不変量といった不変量が得られる。
• 小規模なグラフ（約 100 條程度まで）に対しては、コンピュータ代数システムやウェブベースのツール（例：http://homepages.mcs.vuw.ac.nz/~djp/tutte/）で実装が可能である。