[論文レビュー] Graph Pricing Problem on Bounded Treewidth, Bounded Genus and k-partite graphs

Parinya Chalermsook, Shiva Kintali+2 more|arXiv (Cornell University)|Mar 8, 2012

Advanced Graph Theory Research参考文献 14被引用数 3

ひとこと要約

本稿では、有界木幅、有界 genus、k-部グラフにおけるグラフプライシング問題（GVP）に対して、完全多項式時間近似スキーム（FPTAS）を提示する。木分解に基づく動的計画法とシェラリ・アダムス階層を用い、有界木幅および有界 genus グラフでは (1+ε)-近似を達成する。また、最大次数が4のグラフに対しては2-近似を提供する。

ABSTRACT

Consider the following problem. A seller has infinite copies of $n$ products represented by nodes in a graph. There are $m$ consumers, each has a budget and wants to buy two products. Consumers are represented by weighted edges. Given the prices of products, each consumer will buy both products she wants, at the given price, if she can afford to. Our objective is to help the seller price the products to maximize her profit. This problem is called {\em graph vertex pricing} ({\sf GVP}) problem and has resisted several recent attempts despite its current simple solution. This motivates the study of this problem on special classes of graphs. In this paper, we study this problem on a large class of graphs such as graphs with bounded treewidth, bounded genus and $k$-partite graphs. We show that there exists an {\sf FPTAS} for {\sf GVP} on graphs with bounded treewidth. This result is also extended to an {\sf FPTAS} for the more general {\em single-minded pricing} problem. On bounded genus graphs we present a {\sf PTAS} and show that {\sf GVP} is {\sf NP}-hard even on planar graphs. We study the Sherali-Adams hierarchy applied to a natural Integer Program formulation that $(1+ε)$-approximates the optimal solution of {\sf GVP}. Sherali-Adams hierarchy has gained much interest recently as a possible approach to develop new approximation algorithms. We show that, when the input graph has bounded treewidth or bounded genus, applying a constant number of rounds of Sherali-Adams hierarchy makes the integrality gap of this natural {\sf LP} arbitrarily small, thus giving a $(1+ε)$-approximate solution to the original {\sf GVP} instance. On $k$-partite graphs, we present a constant-factor approximation algorithm. We further improve the approximation factors for paths, cycles and graphs with degree at most three.

研究の動機と目的

• 有界木幅、有界 genus、k-部グラフなどの特殊なグラフクラスにおけるグラフプライシング問題（GVP）の効率的近似アルゴリズムの開発。
• 入力グラフの組合せ的構造がGVPの近似可能性に与える影響の理解。
• GVPの自然な線形計画法（LP）定式化における整数性ギャップを低減するシェラリ・アダムス階層の有効性の分析。
• GVPが平面グラフ（有界 genus の部分クラス）でさえもNP困難であることを示すハードネス結果の確立。
• パス、サイクル、および最大次数 ≤4 のグラフを含む低次数グラフにおける近似因子の向上。

提案手法

• 有界木幅グラフにおけるGVPのFPTASを達成するため、木分解に基づく動的計画法を設計。
• バーカーおよびエプスタインの手法を用いて、平面グラフおよび有界 genus グラフの分解技術を拡張し、FPTASを有界 genus グラフへと拡張。
• GVPの自然な整数計画法定式化にシェラリ・アダムス階層を適用し、定数回のラウンドで有界木幅および有界 genus グラフにおいて整数性ギャップを (1+ε) に低減することを示した。
• 辺を最大次数2（パスとサイクル）の2つの部分グラフに分割する分解技術を用い、各部分グラフで多項式時間で最適解を得られることを活かし、最大次数4のグラフに対して2-近似を構成。
• すべての辺が正の収益をもたらす場合の最適価格を計算するための線形計画法（LP_opt）を定式化し、パスおよびサイクルに対して動的計画法を用いて解く。
• サイクルに対して再帰的アルゴリズムを導出する。各辺を削除して得られるパスを解き、その中で最大収益をとる解を採用する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 有界木幅グラフにおけるグラフプライシング問題にFPTASを設計できるか？
• RQ2 シェラリ・アダムス階層は、有界木幅および有界 genus グラフにおけるGVPの自然なLP緩和の整数性ギャップを効果的に低減するか？
• RQ3 k-部グラフにおけるGVPの近似可能性は何か？また、パスやサイクルなどの特別な部分クラスではより良い近似因子が達成可能か？
• RQ4 グラフプライシング問題は平面グラフ（有界 genus の部分クラス）においてもNP困難か？
• RQ5 辺の分解と部分グラフ最適化を用いて、最大次数4のグラフに対して2-近似アルゴリズムを達成できるか？

主な発見

• 有界木幅グラフにおけるグラフプライシング問題（GVP）に対してFPTASが存在し、木分解に基づく動的計画法によって達成された。
• シェラリ・アダムス階層は、有界木幅および有界 genus グラフにおいて、定数回のラウンドで自然なLP定式化の整数性ギャップを (1+ε) に低減することを示した。
• 有界 genus グラフにおけるGVPのためのPTASが開発され、平面グラフにおいてもGVPがNP困難であることが証明された。
• 最大次数4のグラフに対しては、辺を最大次数2の2つの部分グラフに分解する手法を用い、2-近似アルゴリズムを提示した。
• パスおよびサイクルに対しては多項式時間アルゴリズムを設計し、線形計画法または動的計画法により最適解を計算した。
• 最大次数3のグラフに対しては、比 αk/(k−1) < 4 の定数近似因子が達成され、一般のグラフに対する境界を改善した。