[論文レビュー] Graph Relations and Constrained Homomorphism Partial Orders

Yangjing Long|arXiv (Cornell University)|Apr 21, 2014

Advanced Graph Theory Research参考文献 4被引用数 3

ひとこと要約

本稿では、グラフ関係とR-準同型を定義することにより、被覆的および局所制約付き準同型を一般化する、制約付きグラフ準同型の新しい枠組みを導入する。R-コアとR-ココアが同型を除き一意に定まり、多項式時間で計算可能であることが示され、その部分順序が普遍的であることが証明されており、特に最大次数が有界なグラフの線グラフおよび向き付けられたサイクルに対しても成り立つ。

ABSTRACT

We consider constrained variants of graph homomorphisms such as embeddings, monomorphisms, full homomorphisms, surjective homomorpshims, and locally constrained homomorphisms. We also introduce a new variation on this theme which derives from relations between graphs and is related to multihomomorphisms. This gives a generalization of surjective homomorphisms and naturally leads to notions of R-retractions, R-cores, and R-cocores of graphs. Both R-cores and R-cocores of graphs are unique up to isomorphism and can be computed in polynomial time. The theory of the graph homomorphism order is well developed, and from it we consider analogous notions defined for orders induced by constrained homomorphisms. We identify corresponding cores, prove or disprove universality, characterize gaps and dualities. We give a new and significantly easier proof of the universality of the homomorphism order by showing that even the class of oriented cycles is universal. We provide a systematic approach to simplify the proofs of several earlier results in this area. We explore in greater detail locally injective homomorphisms on connected graphs, characterize gaps and show universality. We also prove that for every $d\geq 3$ the homomorphism order on the class of line graphs of graphs with maximum degree $d$ is universal.

研究の動機と目的

• 埋め込み、単射準同型、および被覆的準同型などの制約付きバージョンを導入することで、古典的なグラフ準同型順序を一般化すること。
• グラフ関係（R-準同型）を通じて、被覆的および局所制約付き準同型を拡張する新しい準同型クラスを定義すること。
• R-コアとR-ココアが同型を除き一意に存在し、多項式時間で計算可能であることを確立すること。
• 制約付き準同型によって誘導される部分順序における普遍性、ギャップ、双対性を調査すること。
• 標準的準同型順序の普遍性を、向き付けられたサイクルを用いてより簡潔に証明すること。

提案手法

• グラフ間の関係的制約を用いて、被覆的準同型の一般化としてR-準同型を定義する。
• R-再帰を導入し、R-準同型同値関係におけるグラフ類の標準的代表元としてR-コアとR-ココアを定義する。
• 弱い関係的合成と関係的同値を用いて、誘導される部分順序の構造を分析する。
• 過去有限および未来有限順序の理論を用いて、制約付き準同型順序におけるギャップと双対性を特徴付ける。
• 向き付けられたサイクルのクラスが普遍的部分順序を誘導することを示し、普遍性を証明する。
• 線グラフ構成と最大次数dのグラフ族を用いて、最大次数dの線グラフのクラスへの普遍性結果を拡張する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 R-準同型によって誘導される部分順序の構造は何か？ また、R-コアとR-ココアはその構造とどのように関係しているか？
• RQ2 R-コアとR-ココアは同型を除き一意に定まり、多項式時間で計算可能か？
• RQ3 制約付き準同型（例えば、局所的に単射的、被覆的など）によって誘導される部分順序は普遍的か？
• RQ4 R-準同型または向き付けられたサイクルを用いることで、標準的準同型順序の普遍性をより簡潔に証明できるか？
• RQ5 R-準同型順序において、双対性とギャップが存在する条件は何か？

主な発見

• グラフのR-コアとR-ココアは、同型を除き一意に定まり、多項式時間で計算可能である。
• 向き付けられたサイクルのクラスは普遍的部分順序を誘導し、標準的準同型順序の普遍性を著しく簡素化された証明で示している。
• 任意のd ≥ 3に対して、最大次数がdのグラフの線グラフのクラスにおける準同型順序は普遍的である。
• 本稿は、制約付き準同型および双対性の理論における以前の証明を体系的に簡略化している。
• 局所的に単射的準同型順序におけるギャップが特徴付けられ、未来有限順序において双対性が特定されている。
• R-準同型の理論は、被覆的および局所制約付き準同型を一般化し、制約付きグラフ写像を統一的に研究するためのフレームワークを提供している。