[論文レビュー] Graph Searches and Their End Vertices

Yixin Cao, Zhifeng Wang+2 more|arXiv (Cornell University)|Jan 1, 2019

Algorithms and Data Compression被引用数 3

ひとこと要約

この論文は、弦的および関連するグラフにおけるさまざまなグラフ探索の終端頂点を包括的に特徴づける。弦的グラフにおける最大基数探索（MCS）の多項式時間アルゴリズム、区間グラフにおけるBFSの線形時間アルゴリズム、および弦的グラフにおける辞書的DFSの線形時間アルゴリズムを提示する一方で、弱く弦的グラフにおけるMCSのNP完全性を確立し、一般のグラフに対しては2^n · n^O(1)-時間のアルゴリズムを提供する。

ABSTRACT

Graph search, the process of visiting vertices in a graph in a specific order, has demonstrated magical powers in many important algorithms. But a systematic study was only initiated by Corneil et al. a decade ago, and only by then we started to realize how little we understand it. Even the apparently naïve question "which vertex can be the last visited by a graph search algorithm," known as the end vertex problem, turns out to be quite elusive. We give a full picture of all maximum cardinality searches on chordal graphs, which implies a polynomial-time algorithm for the end vertex problem of maximum cardinality search. It is complemented by a proof of NP-completeness of the same problem on weakly chordal graphs. We also show linear-time algorithms for deciding end vertices of breadth-first searches on interval graphs, and end vertices of lexicographic depth-first searches on chordal graphs. Finally, we present 2^n * n^O(1)-time algorithms for deciding the end vertices of breadth-first searches, depth-first searches, and maximum cardinality searches on general graphs.

研究の動機と目的

• 弦的グラフにおける最大基数探索（MCS）の終端頂点問題を解明すること。
• 弱く弦的グラフにおけるさまざまなグラフ探索の終端頂点問題の計算複雑性を特定すること。
• 区間グラフにおけるBFSの終端頂点および弦的グラフにおけるLDFSの終端頂点を線形時間で求めるアルゴリズムを開発すること。
• 任意のグラフにおけるBFS、DFS、MCS、MNSの終端頂点問題に対して、一般の2^n · n^O(1)-時間アルゴリズムを提供すること。
• 主要なグラフクラスと探索タイプの間で終端頂点問題の複雑性の地図を完成させること。

提案手法

• BFSの順序制約を追跡するための頂点集合とレベルを用いた再帰的動的計画法の定式化を提案する。
• 隣接関係と近傍条件に基づいて、BFSにおける有効な頂点訪問順序を決定する関数f(Xi, ui)を再帰的に定義する。
• 連結性と順序制約を満たす部分集合Xと端点s, tを用いたDFSの再帰的分解を適用する。
• 有効なDFS順序を検証するための再帰的公式 f(X, s, t) = ∨_{v∈(N(t)∩X)‑{s}} ∨_{Y⊇(N[t]∩X)‑{s}} [f((X\Y)∪{v}, s, v) ∧ f(Y, v, t)] を用いる。
• 弦的グラフの構造的性質と最大クリークを活用して、MCSおよびMNSへのアプローチを一般化する。
• レベルごとの分解と近傍制約を用いて、BFSおよびDFSの走査順序を体系的にモデル化する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 弦的グラフにおける最大基数探索で最後に訪問される可能性のある頂点はどれか？
• RQ2 弱く弦的グラフにおけるMCSの終端頂点問題はNP完全か？
• RQ3 区間グラフにおけるBFSの終端頂点は線形時間で計算可能か？
• RQ4 弦的グラフにおける辞書的DFSの終端頂点問題の計算複雑性はいかほどか？
• RQ5 任意のグラフにおける一般のグラフ探索の終端頂点問題の時間計算量はどの程度か？

主な発見

• 弦的グラフにおける最大基数探索の終端頂点問題に対して多項式時間アルゴリズムが提示された。
• 弱く弦的グラフにおけるMCSの終端頂点問題はNP完全である。
• 区間グラフにおけるBFSの終端頂点および弦的グラフにおけるLDFSの終端頂点を求める線形時間アルゴリズムが開発された。
• 任意のグラフにおけるBFS、DFS、MCS、MNSの終端頂点問題に対して、2^n · n^O(1)-時間のアルゴリズムが提供された。
• 本論文は、6つのグラフ探索アルゴリズムと4つのグラフクラスにおける終端頂点問題の複雑性分類を完成させた。
• 特にMCSおよびLDFSに関して、弦的および弱く弦的グラフにおける未解決の問題が解決された。