[論文レビュー] Graph Similarity and Homomorphism Densities

Jan Böker|arXiv (Cornell University)|Apr 29, 2021

Graph theory and applications被引用数 5

ひとこと要約

本稿では、分数的同型とホモモーフィズム密度に基づいて、多項式時間で計算可能なグラフ類似度測度として、ツリー距離とパス距離を導入する。2つのグラフがこれらの距離で類似しているのは、かつてそのツリーまたはパスホモモーフィズム密度が近いときであり、グラフン理論と関数解析的手法を用いて、Lovász型の対応関係を正確な設定から近似設定へと拡張する。

ABSTRACT

We introduce the tree distance, a new distance measure on graphs. The tree distance can be computed in polynomial time with standard methods from convex optimization. It is based on the notion of fractional isomorphism, a characterization based on a natural system of linear equations whose integer solutions correspond to graph isomorphism. By results of Tinhofer (1986, 1991) and Dvo\v{r}\'ak (2010), two graphs G and H are fractionally isomorphic if and only if, for every tree T, the number of homomorphisms from T to G equals the corresponding number from T to H, which means that the tree distance of G and H is zero. Our main result is that this correspondence between the equivalence relations "fractional isomorphism" and "equal tree homomorphism densities" can be extended to a correspondence between the associated distance measures. Our result is inspired by a similar result due to Lov\'asz and Szegedy (2006) and Borgs, Chayes, Lov\'asz, S\'os, and Vesztergombi (2008) that connects the cut distance of graphs to their homomorphism densities (over all graphs), which is a fundamental theorem in the theory of graph limits. We also introduce the path distance of graphs and take the corresponding result of Dell, Grohe, and Rattan (2018) for exact path homomorphism counts to an approximate level. Our results answer an open question of Grohe (2020). We establish our main results by generalizing our definitions to graphons as this allows us to apply techniques from functional analysis. We prove the fairly general statement that, for every "reasonably" defined graphon pseudometric, an exact correspondence to homomorphism densities can be turned into an approximate one. We also provide an example of a distance measure that violates this reasonableness condition. This incidentally answers an open question of Greb\'ik and Rocha (2021).

研究の動機と目的

• ホモモーフィズムカウントに基づくグラフ類似度測度の理論的基盤を確立し、グラフの機械学習埋め込みに関する理解の空白を埋める。
• Grohe (2020) が提起した未解決問題である、行列ノルムに基づく距離（分数的同型から生じるようなもの）が近似的にホモモーフィズム密度に対応するかどうかを解明する。
• 分数的同型とホモモーフィズム密度の間の正確な対応関係を、グラフンと関数解析を用いて近似距離へと一般化する。
• Grebík と Rocha (2021) が提起した未解決問題である、特定のグラフン集合の閉包性についての問いに答え、商グラフンの集合がグラフン空間において稠密であることを示す。

提案手法

• 分数的同型系から導かれる双確率行列上の行列ノルム距離の正規化版としてツリー距離 δT を定義する。
• パスホモモーフィズムカウントに関して同様にパス距離 δP を導入し、Dell, Grohe, Rattan (2018) の結果を近似的な設定へ一般化する。
• グラフン擬距離を関数解析的手法を許容する形に拡張し、正確なホモモーフィズム密度対応関係を持つ「適切に定義された」任意の擬距離が、同時に近似的な対応関係も満たすことを証明する。
• グラフン空間のコンパクト性と逆数え上げ補題を用いて、擬距離距離とホモモーフィズム密度差の間の定量的バインディングを導出する。
• 色距離 δC□ についての数え上げ補題を証明し、任意の木 T に対して |t(T, G) − t(T, H)| ≤ |E(T)| · δC□(G, H) が成り立つことを示す。
• 明示的なグラフ列を構築し、δT□ と δC□ が位相的に異なることを示し、δT□ が δC□ より厳密に弱いことを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 分数的同型と等しいツリーのホモモーフィズムカウントの対応関係を、正確な設定から近似的な設定へ拡張できるか。
• RQ2 ツリーおよびパスのためのグラフ距離測度（例：δT）とホモモーフィズム密度との間には定量的関係があるか。
• RQ3 Grebík と Rocha が提起した問いに従い、集合 {W/C(W) | W ∈ W₀} はグラフン空間の閉集合であるか。
• RQ4 グラフン理論を用いて、有界木幅またはパスに類似した部分構造に基づく距離測度を一般化できるか。
• RQ5 ツリーマンは、ε-等分布分割や色リファインメントといった構造的性質をどの程度反映しているか。

主な発見

• ツリー距離 δT は、2つのグラフが δT に関して近いのは、かつてそのツリーのホモモーフィズム密度が近いときであるという、重要な対応関係を満たす。
• 色距離についての定量的数え上げ補題が確立され、|t(T, G) − t(T, H)| ≤ |E(T)| · δC□(G, H) が成り立つ。これは、δC□ が小さいと密度差が小さいことを示している。
• ツリー距離 δT□ は色距離 δC□ より厳密に弱く、δT□(Gn, K3) → 0 であるが δC□(Gn, K3) ≥ 1/9 となる反例によって示された。
• 集合 {WG/CG∞ | G はグラフ} はグラフン空間 W₀ において稠密である。これは、Grebík と Rocha (2021) の閉包性に関する問いに否定的である答えを与える。
• 任意のグラフン W と ε > 0 に対して、δ□(G/CG∞, W) ≤ 3·v(H)/n + 1/4·(v(H)/n)² を満たす O(1/ε) 頂点のグラフ G が存在する。これは、商グラフによる有効な近似を示している。
• 本稿ではパスについての定量的逆数え上げ補題を証明し、一般のグラフ数え上げ補題と同じ要因 e(F) を用いている。一方、ツリーについての類似結果は未解決の難問として残されている。