[論文レビュー] Graph Spanners in the Message-Passing Model

Manuel Fernández, David P. Woodruff+1 more|arXiv (Cornell University)|Nov 14, 2019

Advanced Graph Theory Research被引用数 2

ひとこと要約

本稿では、複数のサイトに分散して配置されたエッジを扱う分散型メッセージパス方式のモデルにおいて、グラフスパンナを計算する初めての通信効率の良いアルゴリズムを提示する。加法的および乗法的スパンナの通信複雑度のタイトな境界を確立し、エッジの重複を許容するか否かのモデル間の差異を示し、通信コストとスパンナの品質のほぼ最適なトレードオフを提供する。

ABSTRACT

Graph spanners are sparse subgraphs which approximately preserve all pairwise shortest-path distances in an input graph. The notion of approximation can be additive, multiplicative, or both, and many variants of this problem have been extensively studied. We study the problem of computing a graph spanner when the edges of the input graph are distributed across two or more sites in an arbitrary, possibly worst-case partition, and the goal is for the sites to minimize the communication used to output a spanner. We assume the message-passing model of communication, for which there is a point-to-point link between all pairs of sites as well as a coordinator who is responsible for producing the output. We stress that the subset of edges that each site has is not related to the network topology, which is fixed to be point-to-point. While this model has been extensively studied for related problems such as graph connectivity, it has not been systematically studied for graph spanners. We present the first tradeoffs for total communication versus the quality of the spanners computed, for two or more sites, as well as for additive and multiplicative notions of distortion. We show separations in the communication complexity when edges are allowed to occur on multiple sites, versus when each edge occurs on at most one site. We obtain nearly tight bounds (up to polylog factors) for the communication of additive $2$-spanners in both the with and without duplication models, multiplicative $(2k-1)$-spanners in the with duplication model, and multiplicative $3$ and $5$-spanners in the without duplication model. Our lower bound for multiplicative $3$-spanners employs biregular bipartite graphs rather than the usual Erd\H{o}s girth conjecture graphs and may be of wider interest.

研究の動機と目的

• 複数サイトのメッセージパスシステムにおける分散型グラフスパンナ計算の通信複雑度に関する理解の空白を埋めること。
• エッジが複数のサイトに分散配分されている場合、その分布がスパンナの計算に要する通信コストに与える影響を調査すること。
• エッジの重複あり・なしの両モデルにおいて、通信オーバーヘッドとスパンナの品質（加法的または乗法的歪み）との間のトレードオフを確立すること。
• 加法的2スパンナや乗法的(2k−1)-スパンナを含む、さまざまなスパンナタイプにおける通信複雑度のほぼタイトな下界と上界を提供すること。
• 従来のgirthに基づく構成とは異なる新たな知見をもたらす、双正則な二部グラフを用いた新しい下界技術の開発。

提案手法

• 入力グラフのエッジの一部を保持する複数のサイトと、協調者を有するメッセージパス設定で問題をモデル化する。
• 通信を最小限に抑えるように設計された分散アルゴリズムを提案し、加法的および乗法的歪みの保証を満たすスパンナを計算する。
• すべてのデータを中央集約しないで、サイト間のポイントツーポイントリンクを介してメッセージを交換する協調モデルを採用し、共同でスパンナを構築する。
• 乗法的3スパンナの通信複雑度の限界を示すために、双正則な二部グラフに基づく新しい下界技術を導入する。
• エッジの重複を許容するモデルと、エッジを一意に格納することを義務付けるモデルの両方で、通信複雑度を分析する。
• スパンナの構造的性質とグラフのスパarsityを活用し、多項対数因子の範囲でタイトな境界を導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 エッジが複数のサイトに分散配分されているメッセージパスモデルにおいて、グラフスパンナを計算するために必要な最小通信量は何か？
• RQ2 エッジが複数のサイトに重複して存在する場合、加法的または乗法的歪みを持つスパンナの計算に要する通信複雑度にどのような影響を与えるか？
• RQ3 加法的2スパンナや乗法的(2k−1)-スパンナといった特定のスパンナタイプに対して、ほぼタイトな通信複雑度境界を確立できるか？
• RQ4 スパンナ計算の通信複雑度の限界を確立するために、どのような新しい下界技術を開発できるか？
• RQ5 エッジの重複あり・なしのモデル間で、さまざまなスパンナタイプに対して通信要件はどのように異なるか？

主な発見

• 本稿では、エッジの重複あり・なしの両モデルにおいて、加法的2スパンナを計算する通信複雑度について、多項対数因子の範囲でほぼタイトな境界を確立した。
• エッジの重複を許容するモデルにおいて、乗法的(2k−1)-スパンナの通信複雑度について、ほぼ最適な境界を提供した。
• エッジの重複を許さないモデルでは、乗法的3スパンナおよび5スパンナについても、ほぼタイトな境界を達成した。
• 従来のErd\'os girth予想に基づくアプローチとは異なり、双正則な二部グラフを用いた新しい下界技術を導入し、より強力で一般的な結果を得た。
• 本研究では、特に乗法的スパンナにおいて、エッジの重複あり・なしのモデル間で通信複雑度に明確な分離が生じることを明らかにした。
• 結果として、通信コストが特に小さな乗法的歪みを持つスパンナにおいて、エッジの重複を許さないモデルの方が顕著に高くなることが示された。