[論文レビュー] Graph Sparsification by Effective Resistances

Daniel A. Spielman, Nikhil Srivastava|ArXiv.org|Mar 6, 2008

Complexity and Algorithms in Graphs参考文献 17被引用数 7

ひとこと要約

この論文は、有効抵抗をサンプリング確率として用いることで、重み付きグラフのスペクトルスパース化をほぼ線形時間で行うアルゴリズムを提示する。低ストレッチスパニングツリーを用いて有効抵抗を近似し、線形システムを効率的に解くことで、すべての二次形式を $1\pm\epsilon$ の範囲で保つ $O(n \log n / \epsilon^2)$ 様式のスパースファイアを構築する。従来の研究に比べ、エッジ数と一般性の両面で改善を図った。

ABSTRACT

We present a nearly-linear time algorithm that produces high-quality sparsifiers of weighted graphs. Given as input a weighted graph $G=(V,E,w)$ and a parameter $ε>0$, we produce a weighted subgraph $H=(V, ilde{E}, ilde{w})$ of $G$ such that $| ilde{E}|=O(n\log n/ε^2)$ and for all vectors $x\in\R^V$ $(1-ε)\sum_{uv\in E}(x(u)-x(v))^2w_{uv}\le \sum_{uv\in ilde{E}}(x(u)-x(v))^2 ilde{w}_{uv} \le (1+ε)\sum_{uv\in E}(x(u)-x(v))^2w_{uv}. (*)$ This improves upon the sparsifiers constructed by Spielman and Teng, which had $O(n\log^c n)$ edges for some large constant $c$, and upon those of Benczúr and Karger, which only satisfied (*) for $x\in\{0,1\}^V$. A key ingredient in our algorithm is a subroutine of independent interest: a nearly-linear time algorithm that builds a data structure from which we can query the approximate effective resistance between any two vertices in a graph in $O(\log n)$ time.

研究の動機と目的

• 最適なエッジ数を持つ高品質なスペクトルスパースファイアを生成するほぼ線形時間のアルゴリズムを開発すること。
• カット重みのみを保つカットスパースファイアから、すべての二次形式 $x^T L x$ を保つスペクトルスパースファイアに拡張すること。
• SpielmanとTengの $O(n \log^c n)$ の構成に比べ、$O(n \log n / \epsilon^2)$ エッジを持つスパースファイアを達成すること。
• すべての $x \in \mathbb{R}^n$ に対して、和の二乗差 $ (x(u)-x(v))^2 w_{uv} $ が $1\pm\epsilon$ の範囲で保たれるようにスパースファイアを維持すること。
• 頂点の接続エッジ重みがサンプリング中にあまりに大きく膨張しないという追加の構造的保証を組み込むこと。

提案手法

• エッジ重み $w_e$ をスケーリングした有効抵抗 $R_e$ の確率に比例して、スパースファイア $H$ のエッジをサンプリングする。
• ほぼ線形時間のアルゴリズムを用いて、低ストレッチスパニングツリーとスケッチベースの線形システムソルバーを介して近似有効抵抗を計算する。
• クエリごとに $O(\log n / \epsilon^2)$ 時間で、有効抵抗 $R_{uv}$ を近似するデータ構造 $\widetilde{Z}$ を構築する。
• ラプラシアン二次形式の不偏期待値を維持するために、サンプルされたエッジを $1/(q p_e)$ でスケーリングする。
• Bennettの不等式を用いて、任意の頂点の合計再スケーリング済み接続エッジ重みが $2\deg(v)$ を超える確率を抑え込む。
• 頂点次数に基づく最小閾値と組み合わせて、サンプリング確率を調整することで、すべての $v$ に対して $\sum_{e\ni v} \tilde{w}_e / w_e \leq 2\deg(v)$ が高確率で成立することを保証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 有効抵抗を用いて、最適なエッジ数を持つほぼ線形時間のスペクトルスパース化アルゴリズムを設計できるか？
• RQ2 有効抵抗の近似値を十分に速く計算できるか、サンプリングがほぼ線形時間で可能か？
• RQ3 エッジ重みと有効抵抗 $w_e R_e$ の確率に比例してサンプリングすることで、$O(n \log n / \epsilon^2)$ エッジを持つスペクトルスパースファイアが得られるか？
• RQ4 サンプリング中に任意の頂点の接続エッジ重みが著しく膨張しないようにスパースファイアを構築できるか？
• RQ5 有効抵抗の定数倍近似値を用いても、スペクトル的性質が保たれるようにアルゴリズムを強化できるか？

主な発見

• アルゴリズムは、すべての $x \in \mathbb{R}^n$ に対して $ (1-\epsilon)x^T L x \leq x^T \tilde{L} x \leq (1+\epsilon)x^T L x $ を確率 $1/2$ 以上で満たす $O(n \log n / \epsilon^2)$ エッジを持つスペクトルスパースファイア $H$ を構築する。
• 有効抵抗は、$\widetilde{O}(m \log r / \epsilon^2)$ 時間で構築されたデータ構造を用いて、$O(\log n / \epsilon^2)$ 時間で近似可能である。
• アルゴリズムは $\widetilde{O}(m / \epsilon^2)$ 時間で実行され、ほぼ線形の複雑さを達成する。
• 有効抵抗の下限を $\beta / (n \min(\deg(u), \deg(v)))$ に制限することで、すべての $v$ に対して確率 $1 - 1/n$ 以上で $\sum_{e\ni v} \tilde{w}_e / w_e \leq 2\deg(v)$ が成立することが保証される。
• 本手法は、BenczúrとKargerのカットスパースファイア（カット重みのみを保つ）およびSpielmanとTengのスペクトルスパースファイア（より多くのエッジを含む）の両方を改善する。
• 構成はロバストである：有効抵抗の定数倍近似値を用いても、Corollary 6 が示すように有効なスペクトルスパースファイアが得られる。