[論文レビュー] Graph States Under the Action of Local Clifford Group in Non-Binary Case

Mohsen Bahramgiri, Salman Beigi|arXiv (Cornell University)|Oct 31, 2006

Quantum Computing Algorithms and Architecture被引用数 27

ひとこと要約

本稿は、d > 2 の場合のクワイッド（d-状態）における非同型で局所 Clifford 同値でないグラフ状態の数の下界を確立し、非二値の場合への局所 Clifford 群の作用をグラフ操作を用いて一般化し、安定化子行列の線形代数的条件に基づいて、2つの非二値グラフ状態の局所同値性を多項式時間で判定するアルゴリズムを提示する。

ABSTRACT

Graph states are well-entangled quantum states that are defined based on a graph. Of course, if two graphs are isomorphic their associated states are the same. Also, we know local operations do not change the entanglement of quantum states. Therefore, graph states that are either isomorphic or equivalent under the local Clifford group have the same properties. In this paper, we first establish a bound on the number of graph states which are neither isomorphic nor equivalent under the action of local Clifford group. Also, we study graph states in non-binary case. We translate the action of local Clifford group, as well as measurement of Pauli operators, into transformations on their associated graphs. Finally, we present an efficient algorithm to verify whether two graph states, in non-binary case, are locally equivalent or not.

研究の動機と目的

• 非二値の場合における、同型でも局所 Clifford 群による同値でもないグラフ状態の数の下界を確立すること。
• qubit（d=2）におけるグラフ状態に対する局所 Clifford 群の作用を、qudit（d>2）へ一般化し、それをグラフ操作に翻訳すること。
• パウリ測定のグラフ変換に基づく特徴付けを非二値設定へ拡張すること。
• 2つの非二値グラフ状態の局所同値性を判定するための効率的なアルゴリズムを開発すること。
• 任意の安定化子状態が、非二値の場合に局所 Clifford 同値なグラフ状態として表現可能であることを示すこと。

提案手法

• グラフ状態を、行列 (Idₙ | M) の形でその安定化子生成子として表現する。ここで M はグラフの隣接行列を符号化する。
• クワイッドにおける局所 Clifford 演算子の作用を、M の隣接行列に対する変換に翻訳する。これにはシンプレクティック操作を用いる。
• 局所 Clifford 操作を、各クワイッドについて EᵢF'ᵢ − FᵢE'ᵢ = 1 を満たす対角行列 E, F, E', F' を含む行列変換としてモデル化する。
• 2つのグラフ状態の同値条件を、𝔽_d 上の未知数 E, E', F, F' に関する線形方程式系（式 (1)）として定式化する。
• 解空間が E×F' − E'×F = (1,1,…,1) を満たす（式 (2））ことを条件として、局所同値性をテストする。
• 2つのグラフが同値である場合、式 (1) の解空間には、式 (2) を満たす余次元 ≤5 のアフィン部分空間が含まれるという重要な定理（定理 9）を適用し、最大5つの基底ベクトルの線形結合による多項式時間のチェックが可能になる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 d > 2 の場合における、n 個のクワイッドにおける非同型で局所 Clifford 同値でもないグラフ状態の最小数は何か？
• RQ2 局所 Clifford 群の作用が非二値グラフ状態に与える影響を、グラフ操作の観点からどのように特徴付けられるか？
• RQ3 クワイドにおけるパウリ測定を、非二値の場合にグラフ論的演算に翻訳できるか？
• RQ4 2つの非二値グラフ状態が局所 Clifford 同値であるかどうかを判定する多項式時間アルゴリズムは存在するか？
• RQ5 任意のクワイド上の安定化子状態は、局所 Clifford 同値なグラフ状態表現を持つだろうか？

主な発見

• 本稿は、非二値の場合における非同型で局所 Clifford 同値でもないグラフ状態の数の下界を確立した。
• 任意のクワイド上の安定化子状態が、局所 Clifford 同値なグラフ状態に写せることが証明され、これは二値の場合の結果を一般化する。
• 局所 Clifford 群の非二値グラフ状態への作用は、シンプレクティックに似た操作を伴う隣接行列 M に対する行列変換として完全に特徴付けられる。
• 本稿は、線形方程式系の解法と行列式条件のチェックに基づいて、2つの非二値グラフ状態の局所同値性を多項式時間でテストする効率的なアルゴリズムを提供する。
• アルゴリズムは、2つのグラフ状態が同値である場合、同値性方程式の解空間に余次元が5以下であるアフィン部分空間が含まれることに依存しており、これにより効率的な検証が可能になる。
• この手法により、同値性問題は、解の基底の有限個（最大5個）の線形結合のチェックに還元され、多項式時間の複雑さが保証される。