[論文レビュー] Graph-theoretic approaches to injectivity and multiple equilibria in systems of interacting elements

Murad Banaji, Gheorghe Crăciun|ArXiv.org|Mar 6, 2009

Gene Regulatory Network Analysis参考文献 25被引用数 5

ひとこと要約

本稿では、一般の相互作用ネットワークにおける単射性および複数平衡の分析のための新しいグラフ理論的枠組みである「指向付き符号付き反応（DSR）グラフ」を導入する。DSRグラフに単純な条件—条件（*）—を適用することにより、反応化学的ネットワークに限らない広範な種類の力学系において複数平衡が存在しないことを保証する十分条件を確立しており、反応機構や構造に関する最小限の仮定のもとで、先行研究を化学反応ネットワークから任意の相互作用系へと拡張している。

ABSTRACT

We extend previous work on injectivity in chemical reaction networks to general interaction networks. Matrix- and graph-theoretic conditions for injectivity of these systems are presented. A particular signed, directed, labelled, bipartite multigraph, termed the ``DSR graph'', is shown to be a useful representation of an interaction network when discussing questions of injectivity. A graph-theoretic condition, developed previously in the context of chemical reaction networks, is shown to be sufficient to guarantee injectivity for a large class of systems. The graph-theoretic condition is simple to state and often easy to check. Examples are presented to illustrate the wide applicability of the theory developed.

研究の動機と目的

• 化学反応ネットワークにおける単射性解析を、種と相互作用を含む一般の相互作用ネットワークへと拡張すること。
• 非質量作用動力学を含む多様な力学系を扱える統一的なグラフ理論的枠組みを構築すること。
• 符号付き、有向、ラベル付き二部多重グラフ（DSRグラフ）に対して、単純で検証可能な条件（条件（*））を同定し、それが単射性を保証し、したがって複数平衡の存在を排除することを可能にすること。
• 生物学的・化学的・工学的分野におけるシステムに広く適用可能であることを示すために、具体的な例を提示し、本フレームワークの広範な適用可能性を示すこと。
• SRグラフおよび相互作用グラフに関する先行研究を統合・一般化し、条件（*）が化学反応ネットワークに限らず、すべての相互作用ネットワークに普遍的に適用可能であることを示すこと。

提案手法

• 種と相互作用を表す二部グラフとして、有向で符号付き、ラベル付きの二部多重グラフ（DSRグラフ）を構築する。
• エッジの方向と符号を定義し、種が相互作用速度に与える影響（S→R）および相互作用速度が種の動的変化に与える影響（R→S）を符号化する。相互作用が双方向である場合のための無向エッジも含む。
• DSRグラフにおけるo-サイクル（奇サイクル）、e-サイクル（偶サイクル）、es-サイクル（エッジ符号付きサイクル）の概念を導入し、行列式における符号付き部分項の構造的性質を分析する。
• グラフ理論的条件である「条件（*）」を適用する。この条件は、「二つの符号付き部分項サブグラフの和集合におけるすべてのサイクルがo-サイクルであるならば、それらの符号付き部分項の積は非負である」と述べる。
• ネットワークに関連するヤコビ行列の行列式展開を用い、DSRグラフにおけるサイクル構造を通じて符号条件を導出する。
• 二つの符号付き部分項が、それらの和集合にのみo-サイクルを含む場合、それらは互いにキャンセルされないという事実を活用し、ベクトル場の単射性を保証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 化学反応ネットワークにおける単射性を保証するグラフ理論的条件が、質量作用動力学に限らない一般の相互作用ネットワークへと一般化可能か？
• RQ2 ネットワークの相互作用グラフのどのような構造的性質が、関連するベクトル場の単射性を保証し、したがって複数平衡の存在を排除するか？
• RQ3 DSRグラフは、生物学的・化学的直感を保ちつつ、厳密な数学的解析を可能にする方法でどのように構築・解釈できるか？
• RQ4 ヤコビ行列の行列式展開における符号付き部分項が、どのような条件下でキャンセルされないか？
• RQ5 本フレームワークは、不可逆的相互作用、調節因子、非一様な動力学形式を含むシステムに対しても、依然として複数平衡の存在を保証的に排除できるか？

主な発見

• 条件（*）—すなわち、二つの符号付き部分項サブグラフの和集合におけるすべてのサイクルがo-サイクルであること—は、それらの符号付き部分項の積が非負であることを保証し、単射性を保証する。
• DSRグラフは、種、相互作用、および方向性の影響（S→R、R→S、または両方）をラベル付き、有向、無向エッジを用いて符号付きで符号化する統一的な表現を提供する。
• 本フレームワークは、R^nにおける長方形領域上の任意の力学系に適用可能であり、非質量作用動力学を含むものも含め、化学反応ネットワークを超えた広範な応用性を有する。
• 二つの符号付きサブグラフの和集合にes-サイクル（エッジ符号付きサイクル）が存在する場合、対応する行列式項がキャンセルされることがあるが、これは特定のサイクル構造条件のもとでのみ発生する。
• 二つの符号付きサブグラフの和集合にすべてo-サイクルが存在する場合、部分項同士はキャンセルされず、その積は非負のままである。これは、単射性を証明する上で重要な段階である。
• DSRグラフの条件のもとで、正確な動力学形式を知らなくても、ヤコビ行列式が0にならないことを保証でき、広い範囲のシステムにおいて複数平衡が存在しないことを成功裏に除外できる。