[論文レビュー] Graph towers, laminations and their invariant measures

Nicolas Bédaride, Arnaud Hilion+1 more|arXiv (Cornell University)|Mar 27, 2015

semigroups and automata theory参考文献 31被引用数 2

ひとこと要約

本稿では、サブシフトや自由群上のカレントを含む記号的ラミネーション上の不変測度を体系的に記述・計算するための組合せ的枠組みとして、グラフタワーとベクトルタワーを導入する。遷移行列の非負固有ベクトルと不変測度を関連させることで、エルゴード測度と極値的な非負固有ベクトルとの一対一対応を確立し、シリンダー測度の効率的計算や自由群の自己同型による不動点の解析を可能にする。

ABSTRACT

In this paper we present a combinatorial machinery, consisting of a graph tower $\overleftarrow \Gamma$ and vector towers $\overleftarrow v$ on $\overleftarrow \Gamma$, which allows us to efficiently describe all invariant measures $\mu = \mu^{\overleftarrow v}$ on any given shift space over a finite alphabet. The new technology admits a number of direct applications, in particular concerning invariant measures on non-primitive substitution subshifts, minimal subshifts with many ergodic measures, or an efficient calculation of the measure of a given cylinder. It also applies to currents on a free group $F_N$, and in particular the set of projectively fixed currents under the action of a (possibly reducible) endomorphism $\varphi: F_N o F_N$ is determined, when $\varphi$ is represented by a train track map.

研究の動機と目的

• 記号的ラミネーション（サブシフトや自由群上のカレントを含む）における不変測度を記述する統一的な組合せ的枠組みを構築すること。
• グラフタワーの有限近似を用いて、サブシフト内の任意のシリンダー集合の測度を構成的に計算する方法を確立すること。
• 遷移行列の極値的非負固有ベクトルを用いて、記号的ラミネーション上のエルゴード不変測度の空間を特徴付けること。
• ハイパボリック自己同型が自由群の射影的カレント空間に作用する際の不動点集合を、定常的グラフタワーを用いて解析すること。
• Outer空間におけるR-ツリーの幾何的性質と、その双対ラミネーションが持ち込むエルゴード的カレントの数の関係を調査すること。

提案手法

• 本稿では、無限列としての拡張的グラフタワーを構成する。これは、各段階でエッジを非自明な簡約パスに写すエッジ拡張写像を持つ有限グラフの列である。
• 「使用ラミネーション」とは、基本グラフ内の双無限路で、高次の段階のエッジの像に最終的に被覆されるような簡約パスの集合として定義される。
• ベクトルタワーは、各グラフのエッジを添え字とする非負のベクトル列であり、エッジの通過回数を数える遷移行列 M(f) を介して整合性を保つ。
• 遷移行列 M(f) は、写像 f によるエッジの像がターゲットグラフのエッジ（またはその逆）をどのように通過するかを符号化し、力学系の核となる。
• 主な構成では、各ベクトルタワーを「使用ラミネーション」上の不変測度に写像する。シリンダー測度は、タワーの十分に大きな有限切断から回復可能である。
• 定常的グラフタワー（f: Γ → Γ が一定の写像である場合）では、不変測度の空間が M(f) の非負固有ベクトルの錐と同型であり、極値的ベクトルがエルゴード測度に対応する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 記号的ラミネーション上の不変測度を、組合せ的データを用いて体系的に記述・計算する方法は何か？
• RQ2 グラフタワーの文脈において、エルゴード的不変測度と遷移行列の極値的非負固有ベクトルとの正確な対応関係は何か？
• RQ3 ハイパボリック自己同型が自由群の射影的カレント空間に作用する際の不動点集合の構造は何か？
• RQ4 自由または巡回点安定化部分群をもつOuter空間におけるR-ツリーの双対ラミネーションが持ち込む、射影的エルゴード的カレントの最大数は何か？
• RQ5 最小的表面ラミネーション上のエルゴード的測度の数は有界であるか？また、この有界値は、スリムなグラフタワーから生じるラミネーションのそれと一致するか？

主な発見

• 任意の記号的ラミネーション LΣ における不変測度は、LΣ = LÐΓ を満たす拡張的グラフタワー ÐΓ 上のベクトルタワーから一意に導かれる。
• 十分に大きな有限切断におけるグラフタワーとその関連するベクトルタワーから、任意のシリンダー集合の測度を任意の精度で計算可能である。
• 写像 f: Γ → Γ によって定義される定常的グラフタワー ÐΓf に対して、エルゴード的不変測度の空間は、遷移行列 M(f) の極値的非負固有ベクトルと一対一に対応する。
• 定常的グラフタワー ÐΓf 上のベクトルタワーの錐の次元は、関連する使用ラミネーション LΣf におけるエルゴード的確率測度の数に等しい。
• 特定のハイパボリック自己同型 ϕ ∈ Out(FN) に対して、射影的不動点カレントの集合は、ϕ のトレイントラック代表 f における M(f) の極値的固有ベクトルによって決定される。
• BCVN におけるR-ツリーの双対ラミネーションが持ち込む射影的エルゴード的カレントの最大数は 3/2(N−1) で上界が与えられ、ガバイの最小ラミネーションが導く特定のケースで等号が成立する。