[論文レビュー] Graph W*-probability Theory

Ilwoo Cho|ArXiv.org|Aug 23, 2004

Advanced Operator Algebra Research参考文献 11被引用数 5

ひとこと要約

本稿では、可算な有向グラフから構成される対角的部分代数 DG における拡張を伴う W*-代数的構造としてのグラフ W*-確率空間を導入する。ラティスパスモデルを用いて、確率変数の DG-値モーメントおよびコマリヤントを計算する手法を構築し、生成子が DG-自由であるための必要十分条件として、それらのパス表現がグラフ上で図式的に異なること（diagram-distinct）であることを示す。主な結果として、1つの頂点と N 個のループからなるグラフの生成作用素 T₁^N は、偶数次のモーメントが (2N)^k · c_k で、2番目のコマリヤントが 2N である半円分布に従うことが示された。ここで c_k は k 番目のカタラン数である。

ABSTRACT

In this paper, we will consider the graph w*-probability theory.

研究の動機と目的

• 可算な有向グラフ G から、対角的部分代数 DG における拡張を伴う W*-確率空間を構成すること。
• グラフ W*-代数における任意の確率変数の DG-値モーメントおよびコマリヤントを計算するための組合せ的枠組みを、ラティスパスモデルを用いて構築すること。
• 生成子の D_G-自由性を、グラフ論的条件であるパス表現の図式的差異（diagram-distinctness）によって特徴付けること。
• 特に、T₁^N（N 個の半円的要素の自由和）および T_N（巡回グラフの生成子）を含む特定の作用素の明示的 DG-モーメントおよび DG-コマリヤントを計算すること。
• グラフ構造、作用素代数、および拡張付き自由確率論との関係を確立し、Speicher の組合せ的自由確率論理論を拡張すること。

提案手法

• Fock空間 l²(𝔽⁺(G)) 上の生成作用素および消滅作用素によって生成される ∗-代数の弱閉包として、グラフ W*-代数 W*(G) を構成する。ここで 𝔽⁺(G) は G 内の有限パスの自由半群族である。
• 頂点射影 L_v によって生成される ∗-代数の弱閉包として、対角的部分代数 D_G を定義する。これは拡張代数として機能する。
• 各作用素をその対角部分（頂点部分）に写像する、自然な忠実な条件付き期待値 E: W*(G) → D_G を導入する。これにより、(W*(G), E) は D_G を基準とする W*-確率空間となる。
• W*(G) 内の確率変数 a の台の分解を、頂点部分と有限パス部分（L_w および L_w* を含むものも含む）に分け、これにより D_G-値モーメントおよびコマリヤントの計算が可能になる。
• ∗-軸性質を満たすラティスパスモデル LP_n および LP_n^* を用い、非交叉分割の組合せ的和（偶数サイズのブロックのみを含む）により、D_G-値モーメントおよびコマリヤントを計算する。
• 生成子 L_{w₁} および L_{w₂} が D_G-自由であることと、それらのパス表現 w₁ および w₂ がグラフ G 上で図式的に異なる（すなわち、グラフ内でのパス図が異なる）ことは同値であることを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 可算な有向グラフから、対角的部分代数 DG における拡張を伴う W*-確率空間をどのように構成できるか？
• RQ2 このようなグラフ W*-代数における任意の確率変数の D_G-値モーメントおよびコマリヤントを計算するための組合せ的技法は何か？
• RQ3 グラフ W*-代数における生成子の D_G-自由性を特徴付ける正確なグラフ論的条件は何か？
• RQ4 1つの頂点と N 個の異なるループからなるグラフの生成作用素 T₁^N の明示的 D_G-モーメントおよび D_G-コマリヤントは何か？
• RQ5 巡回グラフ C_N の構造は、その生成作用素 T_N の D_G-モーメントおよび D_G-コマリヤントにどのように影響するか？

主な発見

• 1つの頂点と N 個の異なるループからなるグラフ G₁^N の生成作用素 T₁^N は、偶数次のモーメントが (2N)^k · c_k で、2番目のコマリヤントが 2N である半円分布に従う。ここで c_k は k 番目のカタラン数である。
• T₁^N の D_G-モーメントは奇数次の n に対しては 0 であり、偶数次の n に対しては ∑_{π∈NC_E(n)} ∏_{V∈π} 2μ_|V| で与えられる。ここで NC_E(n) は、すべてのブロックが偶数サイズである非交叉分割の集合である。
• T₁^N の D_G-コマリヤントは n=2 のとき 2N であり、それ以外の場合は 0 である。これにより、T₁^N が分散 2 の N 個の半円的要素の自由和であることが確認される。
• 巡回グラフ C_N に対して、生成子 T_N の D_G-モーメントは奇数次の n に対して 0 であり、偶数次の n に対しては (∑_{π∈NC_E(n)} ∏_{V∈π} 2μ_|V|) · 1_{D_G} に等しい。
• W*(G) 内の2つの生成子 L_{w₁} および L_{w₂} が D_G-自由であるための必要十分条件は、それらのパス表現 w₁ および w₂ がグラフ G 上で図式的に異なること（パス図が異なること）である。
• 巡回グラフの生成子 T の D_G-コマリヤント k_n(T,…,T) は、n が偶数のとき 2μ_n · 1_{D_G}、n が奇数のとき 0_{D_G} に等しい。ここで μ_n はグラフ構造に依存するスカラー係数である。