[論文レビュー] Graphes, moyennabilité et bas du spectre de variétés topologiquement infinies

Samuel Tapie|arXiv (Cornell University)|Jan 14, 2010

Geometric Analysis and Curvature Flows参考文献 12被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、固定された細胞を正則グラフに沿って貼り合わせることで構成される、位相的に無限大のリーマン多様体のクラスを導入し、周期的多様体の一般化を行う。主な結果は、このような多様体におけるラプラシアンのスペクトルの下端が、その細胞のそれと等しいための必要十分条件として、グラフがアーメンであることにかかっている。そうでない場合には、スペクトルギャップがグラフの組合せ的スペクトルギャップと細胞の幾何的データの関数によって明示的に下から抑えられる。

ABSTRACT

From a graph $G$ with constant valency $v$ and a (non-compact) manifold $C$ with $v$ boundary components, we build a $G$-periodic manifold $M$. This process gives a class of topologically infinite manifolds which generalizes periodic manifolds and includes all riemannian coverings with finitely generated deck-group. Our main result is that, when the first eigenfunction of $C$ extends to $M$, the bottom of the spectrum of $M$ is equal to $C$'s if and only if the graph $G$ is amenable. When $G$ is not amenable, we control explicitly the gap between these bottom of the spectrum. In particular, we show that if $p : M a N$ is a riemannian covering and the metric of $N$ is generic, then $λ_0(M)\geq λ_0(N)$ with equality if and only if the deck-group is amenable. This generalizes a result of R. Brooks.

研究の動機と目的

• 位相的に無限大のリーマン多様体におけるラプラシアンのスペクトル下端を研究すること、特に細胞のグラフに基づく貼り合わせによって構成された多様体を対象とすること。
• 周期的多様体に関する結果を、より広い非コンパクトかつ位相的に無限大の多様体のクラスへ一般化すること。
• 無限多様体のスペクトル下端が基本細胞のそれと等しくなる正確な条件を特定すること。
• 被覆群が非アーメンである場合に、スペクトルギャップを組合せ論的および幾何的不変量と関連付けて定量すること。
• リーマン被覆に関する結果を拡張し、スペクトル下端が基本多様体のそれ以上であることを示し、等号が成立するのは被覆群がアーメンである場合に限ることを示すこと。

提案手法

• v 個の境界成分を持つ固定された細胞 C を、v-正則グラフ G の各頂点に貼り合わせることで多様体 M を構成する。G の辺に沿って境界成分を同一視する。
• 細胞 C に対してノイマン境界条件を適用し、C の第一固有関数 φ₀ を貼り合わせの整合性を仮定して M へ拡張する。
• 非コンパクト多様体上のラプラシアンのスペクトル理論を用い、スペクトル下端 λ₀ に注目する。
• 多様体 M のスペクトルギャップ λ₀(M) − λ₀(C) を、グラフ G の組合せ的スペクトルギャップ μ₀(G) と細胞境界の幾何的データを用いて関連付ける。
• 細胞の境界の幾何的性質にのみ依存する定数を用いて、スペクトルギャップの下界を確立する。このとき、グラフのヒーバー定数 h(G) と細胞のスペクトルギャップ η を用いる。
• 離散的解析と比較定理を用い、無限構造全体にわたる固有関数およびスペクトル不変量の振る舞いを制御する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 グラフ周期的多様体のスペクトル下端がその基本細胞のそれと等しくなるのはいつか？
• RQ2 被覆グラフ G が非アーメンであるとき、スペクトルギャップ λ₀(M) − λ₀(C) はどのように振る舞うか？
• RQ3 スペクトルギャップが μ₀(G) や h(G) のようなグラフ論的不変量の関数として明示的に下から抑えられるか？
• RQ4 リーマン被覆 p:M→N が λ₀(M) ≥ λ₀(N) を満たす条件は何か？特に、等号が成立するのは被覆群がアーメンである場合に限るか？
• RQ5 本手法は、カスプを有する非コンパクト多様体や幾何的に複雑な構造を有する多様体へ拡張可能か？

主な発見

• 多様体 M のスペクトル下端が細胞 C のそれと等しいための必要十分条件は、被覆グラフ G がアーメンであることである。
• G が非アーメンである場合、スペクトルギャップは λ₀(M) − λ₀(C) ≥ Aημ₀(G) > 0 を満たす。ここで A は C の境界の幾何的性質にのみ依存し、η = λ₁(C) − λ₀(C) である。
• 細胞の近傍が有界である多様体では、ギャップは A′h(G) によっても上から抑えられる。ここで A′ は C の幾何的性質と λ₀(C) にのみ依存する。
• R. Brooks の被覆に関する不等式を一般化する：N に正の注入半径とスペクトルギャップを有する一般の計量を定めたとき、λ₀(M) ≥ λ₀(N) が成り立ち、等号が成立するのは被覆群がアーメンである場合に限る。
• 本手法は、定数半径の離散化よりもカスプ領域で優れた性能を示す、λ₀(M) の推定に実用的なアプローチを提供する。
• 本フレームワークは、[CCdV88] の結果を無限グラフへ一般化する可能性を示唆し、特に測地的境界成分を有するリーマン面への応用が期待される。