[論文レビュー] Graphical Modeling for Multivariate Hawkes Processes with Nonparametric Link Functions

Michael Eichler, Rainer Dahlhaus+1 more|arXiv (Cornell University)|May 22, 2016

Point processes and geometric inequalities参考文献 27被引用数 6

ひとこと要約

本稿では、時刻に等間隔に離散化された点過程の増分と最小二乗法による無限階のベクトル自己回帰モデルのフィッティングを用いて、多次元ハーケス過程の非パラメトリック推定量を提案する。この手法は、グレインジャ因果関係構造を符号化するリンク関数を一貫して推定でき、観測時間の延長と離散化ステップサイズの減少に伴い理論的整合性が保証され、点過程データからの因果推論を可能にする。

ABSTRACT

Hawkes (1971) introduced a powerful multivariate point process model of mutually exciting processes to explain causal structure in data. In this paper it is shown that the Granger causality structure of such processes is fully encoded in the corresponding link functions of the model. A new nonparametric estimator of the link functions based on a time-discretized version of the point process is introduced by using an infinite order autoregression. Consistency of the new estimator is derived. The estimator is applied to simulated data and to neural spike train data from the spinal dorsal horn of a rat.

研究の動機と目的

• グレインジャ因果関係とグラフィカルモデルを用いて、多次元ハーケス過程における因果構造学習のための枠組みを確立すること。
• 既存の非パラメトリック推定手法の限界に対処すること。これらの手法は計算的に高コストであり、高スループットな因果学習に不適切である。
• 時間離散化された増分と最小二乗法フィッティングを用いて、ハーケス過程のリンク関数の単純で高速かつ一貫性のある非パラメトリック推定量を開発すること。
• 観測区間が拡大し、離散化ステップサイズがゼロに近づく条件下で、提案手法の推定量の一貫性を証明すること。
• シミュレーテッドデータおよびラットの脊髄後角からの神経スパイクトレインデータを用いて、本手法の適用可能性を検証すること。

提案手法

• 多次元点過程を等間隔の時間ボックスに離散化し、これらのボックス上での増分過程を定義する。
• 過去の増分を予測子として用いて、離散化された過程を無限階のベクトル自己回帰モデルとしてモデル化する。
• 離散化された増分に対する最小二乗回帰を用いてリンク関数を推定し、回帰係数をハーケスカーネルの非パラメトリック推定量として扱う。
• 時間離散化された条件付き強度を用いて、元のハーケス過程のダイナミクスを近似する線形回帰モデルを導出する。
• 観測ウィンドウが拡大し、ボックスサイズが小さくなるにつれて、リンク関数推定の推定誤差が確率的にゼロに収束することを示すことにより、推定量の一貫性を証明する。
• シミュレーテッドデータおよびラットの脊髄後角からの神経スパイクトレインデータに本手法を適用し、性能を検証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 時間離散化されたデータを用いて、多次元ハーケス過程のグレインジャ因果関係構造を非パラメトリックに符号化・推定する方法は何か？
• RQ2 複雑な数値最適化を回避し、単純で高速かつ一貫性のある非パラメトリック推定量をハーケス過程のリンク関数に対して開発できるか？
• RQ3 観測区間が拡大し、時間ボックスサイズが減少する際、本手法の離散化に基づく推定量の理論的整合性はどのように振る舞うか？
• RQ4 計算効率と精度の観点から、既存の非パラメトリック推定手法と比較して、本手法は因果構造学習においてどのように差をつけるか？
• RQ5 本手法は、実際の神経スパイクトレインデータにおいて因果的依存関係を信頼性高く回復できるか？

主な発見

• 時間離散化された増分と最小二乗回帰に基づく本稿の非パラメトリック推定量は、観測時間の増大とボックスサイズの減少という共通極限下で一貫性を示す。
• リンク関数推定の推定誤差は確率的にゼロに収束し、収束速度は真のリンク関数の滑らかさとボックスサイズに依存する。
• 本手法は、ハーケス過程のリンク関数に符号化されたグレインジャ因果関係構造を一貫して推定でき、点過程データからの因果推論を可能にする。
• 推定量は計算的に効率的かつスケーラブルであり、繰り返しモデルフィッティングを要する因果学習アルゴリズムへの適用に適している。
• シミュレーテッドデータおよびラットの脊髄後角からの神経スパイクトレインデータに対する実験的結果は、本手法が既知の因果構造を回復でき、意味のある依存関係を検出できることを示している。
• 理論的分析により、正則性条件の下で推定誤差のバイアス項と分散項が消滅することが確認され、観測ウィンドウが拡大しボックスサイズが減少する際、支配的誤差項が oP(1) のオーダーとなることが示された。