[論文レビュー] Graphical representations of Ising and Potts models

Jakob E. Björnberg|arXiv (Cornell University)|Nov 11, 2010

Stochastic processes and statistical mechanics参考文献 72被引用数 5

ひとこと要約

本稿は、新しいランダムパリティ表現を用いて、量子イジング模型および時空ポッツ模型の図形的表現を開発し、相転移の厳密な解析を可能にした。量子イジング模型における相転移の鋭さを証明し、微分不等式および確率的技法を用いて、1次元およびスターような幾何構造における臨界点の境界を確立した。

ABSTRACT

We study graphical representations for two related models. The first model is the transverse field quantum Ising model, an extension of the original Ising model which was introduced by Lieb, Schultz and Mattis in the 1960's. The second model is the space-time percolation process, which is closely related to the contact model for the spread of disease. We consider a `space-time' random-cluster model and explore a range of useful probabilistic techniques for studying it. The space-time Potts model emerges as a natural generalization of the quantum Ising model. The basic properties of the phase transitions in these models are treated, such as the fact that there is at most one unbounded FK-cluster, and the resulting lower bound on the critical value in $\ZZ$. We also develop an alternative graphical representation of the quantum Ising model, called the random-parity representation. This representation is based on the random-current representation of the classical Ising model, and allows us to study in much greater detail the phase transition and critical behaviour. The random-parity representation is used to prove sharpness of the phase transition in the quantum Ising model, and to establish bounds on some critical exponents. We address these issues by using the random-parity representation to establish certain differential inequalities, integration of which give the results. Finally we explore some consequences and possible extensions of the results mentioned. For example, we determine the critical point for the quantum Ising model in $\ZZ$ and in `star-like' geometries.

研究の動機と目的

• 横磁場量子イジング模型の新たな図形的表現—ランダムパリティ表現—を構築し、その相転移挙動を分析すること。
• ランダムクラスターフレームワークを時空モデルへと拡張し、量子系および動的系の確率的解析を可能にすること。
• 量子統計力学における中心的未解決問題である、量子イジング模型における相転移の鋭さを証明すること。
• 新規表現および確率的技法を用いて、1次元およびスターフォーム幾何構造における量子イジング模型の臨界点を特定すること。

提案手法

• 連続時間および空間への一般化として、古典的ランダムクラスターモデルの拡張としての時空ランダムクラスターモデルを導入する。
• ランダムカレント形式に基づくランダムパリティ表現を構築し、エッジ集合上の符号付き測度として量子イジング相関を符号化する。
• スイッチング補題を適用し、図形的表現における接続性と量子イジング模型の相関関数との関係を結ぶ。
• ランダムパリティフレームワークを用いて相関関数の微分不等式を導出し、その積分により鋭い相転移結果を得る。
• 確率的比較およびFKG型不等式を用いて、さまざまな境界条件下での時空ポッツおよびイジング模型を分析する。
• タイトネスおよびスコロホド距離の議論を用いて、有限体積測度が無限体積極限へ収束することを証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 物理的直観では予想されるが、まだ厳密に確立されていないように、量子イジング模型は鋭い相転移を示すのか？
• RQ2 1次元およびスターフォームのグラフにおける量子イジング模型の臨界点は何か？ そして、そのグラフ構造とはどのように関係するか？
• RQ3 ランダムカレント表現をどのように量子設定に適応させれば、量子相関を捉えるランダムパリティ表現が得られるか？
• RQ4 時空ポッツ模型の相転移特性は何か？ そして、その確率過程との関係は？
• RQ5 時空ランダムクラスターメasureの無限体積極限は一意に定義可能か？ その主要な性質は何か？

主な発見

• 本稿は、ランダムパリティ表現から導かれる微分不等式を用いて、量子イジング模型における相転移の鋭さを証明した。
• 1次元空間における臨界値の下界を確立し、臨界点が正に保たれることを示した。
• 1次元およびスターフォーム幾何構造における量子イジング模型の臨界点が明示的に決定され、期待される挙動が確認された。
• 時空ランダムクラスターモデルでは、無限大のfkクラスタが高々1つしか存在しないことが示され、相転移解析における重要な構造的性質となった。
• ランダムパリティ表現により、微分不等式の積分を用いた臨界指数の上限の厳密な導出が可能となった。
• 弱位相における有限体積測度の無限体積極限への収束が確立され、熱力学的極限の存在を支持する結果を得た。