[論文レビュー] Graphs and complexes of lattices

Sam Hughes|arXiv (Cornell University)|Apr 28, 2021

Geometric and Algebraic Topology参考文献 35被引用数 7

ひとこと要約

本稿では、特に $\mathrm{Isom}(\mathbb{E}^n)\times T$ および右角ビルディングの積への作用を受ける均一的および非均一的ラティスを研究するための組合せ的枠組みとして、グラフおよびラティスの複体を導入する。均一的 $(H\times T)$-ラティスが $H$-ラティスのグラフとして分解されることを示す構造定理を確立し、$C^*$-単純性を用いて代数的・非可約な均一的 $(\mathrm{Isom}(\mathbb{E}^n)\times T)$-ラティスを特徴づけ、これらの積において非残留的かつ非双自動的ラティスの構成を行う。

ABSTRACT

We study lattices acting on $\mathrm{CAT}(0)$ spaces via their commensurated subgroups. To do this we introduce the notions of a graph of lattices and a complex of lattices giving graph and complex of group splittings of $\mathrm{CAT}(0)$ lattices. Using this framework we characterise irreducible uniform $(\mathrm{Isom}(\mathbb{E}^n) imes T)$-lattices by $C^\ast$-simplicity and give a necessary condition for lattices in products with a Euclidean factor to be biautomatic. We also construct non-residually finite uniform lattices acting on arbitrary products of right-angled buildings and non-biautomatic lattices acting on the product of $\mathbb{E}^n$ and a right-angled building.

研究の動機と目的

• 非可約 CAT(0)空間の積におけるラティスを研究するための組合せ的枠組みを構築すること、特にユークリッド因子を含むものについて。
• 代数的に非可約な均一的ラティスが $\mathrm{Isom}(\mathbb{E}^n)\times T$ に属する場合の $C^*$-単純性による特徴づけ。
• $H$-ラティスのグラフが $(H\times T)$-ラティスを導くための必要十分条件を提供すること。
• $\mathbb{E}^n$ と右角ビルディングの積に作用する非残留的かつ非双自動的ラティスの構成。
• 木を高次元の CAT(0)多面体複体に置き換えることで、ラティスの複体への理論の拡張。

提案手法

• 局所群が $H$-ラティスに同調する有限型の $H$-ラティスであり、$H$ への準同型を備えたグラフの群（グラフの群）としてのラティスのグラフの概念を導入する。
• 基底となるバース・セル理論の木として、ユニモジュラーで非離散的かつ局所的に有限な木 $\mathcal{T}$ を用いる。
• 構造定理（定理 3.3）を適用し、$H$-ラティスの有限グラフが、核作用の忠実性および収束条件を満たす場合、均一的 $(H\times T)$-ラティスが得られることを示す。
• トーマスのファンクターを用いて、木の積から右角ビルディングの積へのラティスの持ち上げを行い、非可約性および非残留性を保つ。
• $\mathrm{Isom}(X)$ および $X$ の非可約因子（ユークリッド空間、対称空間、最小の CAT(0) 空間）への分解を用い、ラティスの研究を因子成分に還元する。
• $C^*$-単純性の基準を適用し、$\mathrm{Isom}(\mathbb{E}^n)\times T$ における非可約な均一的ラティスを特徴づける。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 代数的に非可約な均一的 $(\mathrm{Isom}(\mathbb{E}^n)\times T)$-ラティスが $C^*$-単純であるのはいつか？
• RQ2 $H$-ラティスのグラフが $(H\times T)$-ラティスを導くための条件は何か？
• RQ3 $\mathbb{E}^n$ と右角ビルディングの積において、非残留的かつ非双自動のラティスを構成できるか？
• RQ4 木への作用の核の性質は、グローバルなラティス構造にどのように影響するか？
• RQ5 レアリー＝ミナサヤン群 $\mathrm{LM}(A)$ の $C^*$-単純性は、行列 $A$ によって決定されるか？

主な発見

• 核が $\mathcal{T}$ 上の局所作用に対して忠実に作用する限り、任意の均一的 $(H\times T)$-ラティスは、ユニモジュラーで非離散的かつ局所的に有限なバース・セル木 $\mathcal{T}$ を持つ、均一的 $H$-ラティスの有限グラフとして得られる。
• $H$-ラティスのグラフが $(H\times T)$-ラティスを導くための必要十分条件は、$\sum_{\sigma\in VA} \mu(A_\sigma)/|K_\sigma|$ の収束である。ここで $K_\sigma$ は $\mathcal{T}$ 上の作用の核である。
• $H$-ラティスのグラフの基本群 $\Gamma$ は、$X\times\mathcal{T}$ に quasi-isometric である。ここで $X$ は $\mathrm{CAT}(0)$ 空間であり、$\mathcal{T}$ はバース・セル木である。
• $A$ が (T1) および (T2) を満たす右角ビルディングの自己同型群である場合、トーマスのファンクターを繰り返し適用することで、$\mathrm{Isom}(\mathbb{E}^n)\times A$ に非残留的かつ代数的・非可約なラティスが存在する。
• $A$ が同様の性質を持つ場合、非双自動のラティスは $\mathrm{Isom}(\mathbb{E}^n)\times A$ に存在する。これは、木の積における非双自動ラティスから例を構成することで示される。
• 五角形ビルディングへの作用の核 $\Delta$ はねじれを持たず、その結果得られるラティスは非残留的であり、両因子への射影は非離散的である。