[論文レビュー] Graphs and unicyclic graphs with extremal number of connected induced subgraphs

Audace A. V. Dossou-Olory|arXiv (Cornell University)|Dec 6, 2018

Graph theory and applications参考文献 26被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、連結グラフおよびユニサイクリックグラフのうち、連結部分グラフの数を極めるものについて特徴づける。すべての $k$-頂点連結部分グラフに対して、パスが一意に最小化することを証明する一方、最大値は、$\lfloor n/2\rfloor$ 個までの独立辺を除去した完全グラフで達成される。結果は、双対性を示す：連結部分グラフを最小化するグラフはウィーナー指数を最大化し、逆に、ウィーナー指数を最小化するグラフは連結部分グラフ数を最大化する。

ABSTRACT

Over all graphs (or unicyclic graphs) of a given order, we characterise those graphs that minimise or maximise the number of connected induced subgraphs. For each of these classes, we find that the graphs that minimise the number of connected induced subgraphs coincide with those that are known to maximise the Wiener index (the sum of the distances between all unordered pairs of vertices), and vice versa. For every $k$, we also determine the connected graphs that are extremal with respect to the number of $k$-vertex connected induced subgraphs. We show that, in contrast to the minimum which is uniquely realised by the path, the maximum value is attained by a rich class of connected graphs.

研究の動機と目的

• 位数 $n$ の連結グラフのうち、連結部分グラフの数を最小化または最大化するものを特定すること。
• 木に関する極値結果を一般の連結グラフおよびユニサイクリックグラフに拡張すること。
• すべての $k \in \{3,4,\dots,n-1\}$ に対して、$k$-頂点連結部分グラフを極める構造を特徴づけること。
• 極値部分グラフ数とウィーナー指数（すべての頂点対間の距離の和）との双対性を調査すること。
• 位数 $r$ の連結成分をもつグラフに極値結果を一般化すること。

提案手法

• 部分木をスターに置き換えることで部分グラフ数を増加させるなど、グラフ間の部分グラフ数を比較するための構造的グラフ変換の使用。
• 特にパスとスターの極値性に関する定理1を含む、木における部分木の数え上げに関する既知の結果の応用。
• ユニサイクリックグラフにおける部分グラフの生成関数に類似した推論と再帰的数え上げの使用。
• 背理法と変換による証明：非スター部分木をスターに置き換えることで、連結部分グラフの数が増加する。
• 部分グラフ数を計算するための式 $N(G; S) = N(T_0) + N(T_2) + N(T_0)_{v_0}N(T_1)_{v_1} + N(T_2)_{v_2}N(T_1)_{v_1} + N(T_0)_{v_0}N(T_2)_{v_2}(1 + N(T_1)_{v_1})$ を、変更されたグラフに適用。
• 変化後の部分グラフ数を比較するために、命題11および定理1を活用し、部分グラフ数に正の増加が生じることを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 位数 $n$ の連結グラフの中で、連結部分グラフ数を最小化するのはどれで、その最小値は何か？
• RQ2 位数 $n$ の連結グラフの中で、連結部分グラフ数を最大化するのはどれで、その最大値は何か？
• RQ3 各 $k \in \{3,4,\dots,n-1\}$ に対して、位数 $n$ の連結グラフの中で $k$-頂点連結部分グラフ数を極めるのはどれか？
• RQ4 連結部分グラフ数を極めるグラフと、ウィーナー指数を最大化するグラフとの関係は何か？
• RQ5 位数 $n > 5$ のユニサイクリックグラフの中で、連結部分グラフ数を極めるのはどれか？

主な発見

• すべての位数 $n$ の連結グラフの中で、パスグラフは一意に連結部分グラフ数を最小化し、その数は $\binom{n+1}{2}$ 個である。
• すべての $k \in \{3,4,\dots,n-1\}$ に対して、$n$ 頂点のパスは一意に $k$-頂点連結部分グラフ数を最小化する。
• 位数 $n$ の連結グラフの中で、$k$-頂点連結部分グラフ数が最大になるのは、完全グラフ $K_n$ から $l \leq \lfloor n/2 \rfloor$ 個の独立辺を除去して得られるすべてのグラフである。
• 位数 $n > 5$ のユニサイクリックグラフの中で、タドルグラフ $G_{3,n-3}$ は一意に連結部分グラフ数を最小化する。
• $n$ 頂点のスターランダムに2つのリーフ同士を1辺で接続して得られるグラフは、位数 $n > 5$ のユニサイクリックグラフの中で一意に連結部分グラフ数を最大化する。
• 双対性が成立する：連結部分グラフ数を最小化するグラフはウィーナー指数を最大化し、逆に、ウィーナー指数を最小化するグラフは連結部分グラフ数を最大化する。この関係は、すべての研究対象のグラフ族に共通する。