[論文レビュー] Graphs in perturbation theory: Algebraic structure and asymptotics

Michael Borinsky|arXiv (Cornell University)|Jul 5, 2018

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ひとこと要約

この論文は、フェยマン図のホプフ代数構造を一般のグラフへ拡張し、漸近的解析のための階乗的に発散するべきべき級数の微分環を導入する。連結なチョーク図と単純な順列のすべての次数における漸近展開の閉形式の生成関数を提供し、φ³、φ⁴、QED、ヤクバイ理論などのゼロ次元量子場理論におけるすべての次数における漸近的性質の計算に両構造を応用する。

ABSTRACT

This thesis provides an extension of the work of Dirk Kreimer and Alain Connes on the Hopf algebra structure of Feynman graphs and renormalization to general graphs. Additionally, an algebraic structure of the asymptotics of formal power series with factorial growth, which is compatible with the Hopf algebraic structure, is introduced. The Hopf algebraic structure on graphs permits the explicit enumeration of graphs with constraints for the allowed subgraphs. In the case of Feynman diagrams a lattice structure, which will be introduced, exposes additional unique properties for physical quantum field theories. The differential ring of factorially divergent power series allows the extraction of asymptotic results of implicitly defined power series with vanishing radius of convergence. Together both structures provide an algebraic formulation of large graphs with constraints on the allowed subgraphs. These structures are motivated by and used to analyze renormalized zero-dimensional quantum field theory at high orders in perturbation theory. As a pure application of the Hopf algebra structure, an Hopf algebraic interpretation of the Legendre transformation in quantum field theory is given. The differential ring of factorially divergent power series will be used to solve two asymptotic counting problems from combinatorics: The asymptotic number of connected chord diagrams and the number of simple permutations. For both asymptotic solutions, all order asymptotic expansions are provided as generating functions in closed form. Both structures are combined in an application to zero-dimensional quantum field theory. Various quantities are explicitly given asymptotically in the zero-dimensional version of $φ^3$, $φ^4$, QED, quenched QED and Yukawa theory with their all order asymptotic expansions.

研究の動機と目的

• フェイマン図のホプフ代数構造を部分グラフの制約下での系統的な数え上げを可能にする、任意のグラフへ一般化すること。
• 階乗的成長を示す形式的べき級数の漸近的性質を扱う代数的枠組みを構築し、ホプフ代数的構造と整合性を持つこと。
• 統合された枠組みを用いて、ゼロ次元量子場理論におけるすべての次数における漸近的展開を抽出すること。
• 量子場理論におけるラグランジュ変換のホプフ代数的解釈を提供すること。
• 2つの組合せ的漸近的数え上げ問題を解くこと：連結なチョーク図と単純な順列。

提案手法

• 部分グラフに基づく再帰的分解を用いて、フェイマングラフのホプフ代数を一般のグラフへ適応する。
• 暗黙的に定義された級数の漸近的性質を抽出するために、階乗的に発散するべきべき級数の上に微分環構造を導入する。
• ホプフ代数と微分環の整合性を活用して、部分グラフの制約下での大きなグラフの解析を行う。
• 再生化振幅の生成関数を計算することで、形式的ゼロ次元量子場理論にこの形式的枠組みを適用する。
• 留数に類似した操作を用いて、微分環を通じて漸近展開の閉形式の生成関数を導出する。
• QFTにおける異なる生成関数を結びつけるために、ホプフ代数枠組み内でラグランジュ変換を適用する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 フェイマン図のホプフ代数構造を、部分グラフの制約を伴う任意のグラフへどのように一般化できるか？
• RQ2 階乗的発散を示す形式的べき級数の漸近的性質を支配する代数的構造は何か？
• RQ3 統合されたホプフ代数と微分環の枠組みは、組合せ的対象における閉形式の漸近的展開を導けるか？
• RQ4 これらの構造は、ゼロ次元量子場理論におけるすべての次数における漸近的性質の計算を可能にするか？
• RQ5 量子場理論におけるラグランジュ変換のホプフ代数的解釈は何か？

主な発見

• 本論文は、部分グラフの制約下での明示的数え上げを可能にする一般グラフ上のホプフ代数を構成した。
• 暗黙的に定義された級数のすべての次数における漸近的展開を抽出することが可能な、階乗的に発散するべきべき級数の微分環を導入した。
• 連結なチョーク図の漸近的数え上げに対して、すべての次数における閉形式の生成関数が得られた。
• 単純な順列の数は、すべての次数における漸近的展開の閉形式の生成関数によって明確に特定された。
• ゼロ次元φ³、φ⁴、QED、遮断QED、ヤクバイ理論における再生化振幅のすべての次数における漸近的展開が明示的に計算された。
• ラグランジュ変換のホプフ代数的定式化が得られ、これはQFTにおける再生化群構造と関連づけられた。