[論文レビュー] Graphs, permutations and topological groups

Rögnvaldur G. Möller|arXiv (Cornell University)|Aug 18, 2010

Geometric and Algebraic Topology参考文献 72被引用数 10

ひとこと要約

この論文は、置換群、グラフ、位相群の間の深い関係を確立し、特に完全不連結局所コンpakto（TDLC）群に焦点を当てる。コンパクト生成TDLC群に対して、粗いケイリー・グラフを導入し、これは同一の幾何的性質を保つ不変量である。グラフ論的技法—例えば、ペアの端、多項式成長—を用いて群の構造を特徴づけ、最終的に多項式成長をほぼノルム的商とコンパクト開正規部分群を用いて特徴づけることに成功する。

ABSTRACT

Various connections between the theory of permutation groups and the theory of topological groups are described. These connections are applied in permutation group theory and in the structure theory of topological groups. The first draft of these notes was written for lectures at the conference Totally disconnected groups, graphs and geometry in Blaubeuren, Germany, 2007.

研究の動機と目的

• 置換群論、グラフ論、位相群論の概念を統一し、特に完全不連結局所コンパクト（TDLC）群に対して行う。
• 粗いケイリー・グラフの構成を用いて、TDLC群の構造を分析するためのグラフ論的枠組みを構築する。
• コンパクト生成TDLC群における多項式成長を、その粗いケイリー・グラフの構造的性質を用いて特徴づける。
• グラフ論的および群論的道具を用いて、Gromovの多項式成長に関する古典的定理を位相群の文脈へ一般化する。
• グラフ論的構成を用いて、群論的不変量（ペアの端、共役群）の幾何的解釈を提供する。

提案手法

• 恒等元のコンパクト対称近傍を用いて、コンパクト生成完全不連結局所コンパクト群の粗いケイリー・グラフを構成する。
• 粗いケイリー・グラフを同一の幾何的性質を保つ不変量として用い、成長や端といった幾何的性質を研究する。
• グラフ論的概念—例えば、グラフの端、連結成分、次数—を用いて、グラフに作用する群の構造を分析する。
• 共役性および共役群部分群の概念を用いて、部分群に沿った群の分割を研究する。
• 多項式成長グラフの自己同型群に関するTrofimovの定理を用いて、位相群の構造的結果を導出する。
• Iwasawaの定理およびSchlichtingの定理を基礎的道具として用い、置換群論的およびグラフ論的手法によって再解釈する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 群の置換位相を用いることで、位相群論を用いて置換群の構造をどのように研究できるか？
• RQ2 粗いケイリー・グラフのようなグラフ論的構成は、コンパクト生成完全不連結局所コンパクト群に対して、どのような不変量として機能するか？
• RQ3 群のペアの端およびコエンドは、部分群に沿った群の分割とどのように関係し、何を幾何的情報を含んでいるか？
• RQ4 TDLC群における多項式成長と、ほぼノルム的商をもつ正規コンパクト開部分群が存在することの関係は何か？
• RQ5 TDLC群のWillisの構造理論のグラフ論的解釈は、このような群の代数的構造に対する新たな知見をもたらすか？

主な発見

• コンパクト生成完全不連結局所コンパクト群の粗いケイリー・グラフは、同一の幾何的性質を保つ不変量であり、群の幾何的解析を可能にする。
• 連結で局所有限なグラフは、固定された頂点からの距離nまでの頂点数がnに関して多項式的に増加するときかつそのときに限り、多項式成長を示す。
• コンパクト生成完全不連結局所コンパクト群は、測度論的意味で多項式成長を示す（かつそのときに限り）、その粗いケイリー・グラフも多項式成長を示す。
• 群Gが多項式成長を示す（かつそのときに限り）、Gに正規コンパクト開部分群Kが存在し、G/Kが有限生成でほぼノルム的群である。
• Cと同型な部分群に沿った群の分割に関するKrophollerの予想は、Cの共役群が群G全体に等しいという条件下で検証された。
• 群のペアの端、コエンド、粗いエンドの理論は、グラフ論的に解釈可能であり、これにより定理4.31（群の分割に関する）の証明が得られる。