[論文レビュー] Graphs with many valencies and few eigenvalues

Edwin van Dam, Jack H. Koolen+1 more|arXiv (Cornell University)|May 14, 2014

Graph theory and applications参考文献 18被引用数 8

ひとこと要約

本稿では、正則2-図形とセイデルスイッチングを用いて、4つおよび5つの異なる固有値と任意に多くの異なる正則性（次数）を持つ連結グラフを構成する。この研究により、固有値の個数が次数の多様性を制限しないことが示され、長年の未解決問題である固有値数と頂点次数の多様性の関係が解消された。

ABSTRACT

Dom de Caen posed the question whether connected graphs with three distinct eigenvalues have at most three distinct valencies. We do not answer this question, but instead construct connected graphs with four and five distinct eigenvalues and arbitrarily many distinct valencies. The graphs with four distinct eigenvalues come from regular two-graphs. As a side result, we characterize the disconnected graphs and the graphs with three distinct eigenvalues in the switching class of a regular two-graph.

研究の動機と目的

• 連結グラフにおける異なる次数の個数が、異なる固有値の個数によって制限されるかどうかを調査すること。
• De Caenの予想に反するように、固有値が少ないが任意に多くの異なる次数を持つ連結グラフを構成すること。
• 正則2-図形のスイッチングクラスにおけるグラフの構造、特に固有値および次数の性質を調査すること。
• スイッチングクラスに属するグラフが非連結または3つの固有値しか持たない条件を調べること。
• Moharの構成を拡張し、次数が多数存在する連結二部グラフにおいて、固有値の個数を7から5に削減すること。

提案手法

• セイデルスイッチングと正則2-図形を用いて、制御された固有値スペクトルを持つグラフを生成する。
• インタリーシング定理を適用し、完全二部グラフの非連結和に頂点を追加しても固有値の個数が制限されたままであることを保証する。
• 新しい頂点を各成分の1つの色クラスに接続することで連結二部グラフを構成し、隣接行列のランクを保ち、異なる固有値の個数を5つに削減する。
• インシデント行列を用いて、新しい頂点の隣接行が既存の行の線形結合であることを示し、0が高次元の固有値として残ることを保証する。
• 非正規の均一な乗法的設計のRyserの構成を用いて、4つの固有値と4つの次数を持つ無限族の二部グラフを生成する。
• 次数の分割に関する商行列を分析し、均等性を確認し、グラフ構造における組合せ的制約を導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 4つまたは5つの異なる固有値を持つ連結グラフが、任意に多くの異なる次数を持つことができるか？
• RQ2 4つの固有値と4つを超える異なる次数を持つ連結二部グラフは存在するか？
• RQ3 正則2-図形のスイッチングクラスに属するグラフが非連結または3つの固有値しか持たない条件は何か？
• RQ4 3つより多くの異なる次数と3つの固有値を持つグラフにおいて、次数の分割は均等であるか？
• RQ5 3つの固有値と4つの異なる次数を持つグラフは存在するか？ また、それらが示唆する組合せ的構造は何か？

主な発見

• 任意の整数 $ t $ に対して、完全二部グラフの非連結和にセイデルスイッチングを適用することで、5つの異なる固有値と少なくとも $ t $ 個の異なる次数を持つ連結二部グラフが存在する。
• 新しい頂点の隣接行が既存の行の線形結合であることで、ランクが保たれ、0の固有値の重複度が増加し、異なる固有値が5つに制限される。
• 非自明な正則2-図形のスイッチングクラスに属するグラフは、強い正則グラフと孤立頂点の非連結和である場合にのみ非連結である。
• 非自明な正則2-図形のスイッチングクラスに属するグラフが3つの固有値しか持たない場合、それは正則であり、したがって強い正則である必要がある。
• 51頂点で、3つの固有値と4つの異なる次数（13, 18, 34, 45）を持つグラフの例を提示し、商行列から均等な分割が確認され、次数18と34の頂点間で2-(5,3,9)デザインが存在することが示された。
• 次数18の5頂点と次数34の30頂点の間のインシデント構造は、5点上の完全3-一様デザインの3重に等しいことが示され、強い組合せ的制約が示された。