[論文レビュー] Graphs without large $K_{2,n}$-minors

Lochet, William, Sharma, Roohani|arXiv (Cornell University)|Feb 5, 2017

Advanced Graph Theory Research参考文献 2被引用数 3

ひとこと要約

本稿では、$K_{2,n}$-minor を持たないグラフが、2種類のグラフタイプ（タイプIグラフ（ハミルトニアンサイクル上の制限付きの弦の交差を持つ外平面グラフの一般化）と、有界サイズのグラフの拡張）による有界2-和を介して構成されることを示すことによって、大きな $K_{2,n}$-minor を持たないグラフの構造を特徴づけている。主な結果は、最小次数 ≥6 の十分に大きな3連結グラフ、高次元の頂点をもつ4連結グラフ、および十分に大きな5連結グラフは、大きな $n$ に対して必ず $K_{2,n}$-minor を含むことである。これは、minor 含有の構造的閾値を確立するものである。

ABSTRACT

In the F-Deletion problem, where F is a fixed finite family of graphs, the input is a graph G and an integer k, and the goal is to determine if there exists a set of at most k vertices whose deletion results in a graph that does not contain any graph of F as a minor. The F-Deletion problem encapsulates a large class of natural and interesting graph problems like Vertex Cover, Feedback Vertex Set, Treewidth-η Deletion, Treedepth-η Deletion, Pathwidth-η Deletion, Outerplanar Deletion, Vertex Planarization and many more. We study the F-Deletion problem from the kernelization perspective. In a seminal work, Fomin et al. [FOCS 2012] gave a polynomial kernel for this problem when the family F contains at least one planar graph. The asymptotic growth of the size of the kernel is not uniform with respect to the family F: that is, the size of the kernel is k^{f(F)}, for some function f that depends only on F. Later Giannopoulou et al. [TALG 2017] showed that the non-uniformity in the kernel size bound is unavoidable as Treewidth-η Deletion cannot admit a kernel of size 𝒪(k^{(η+1)/2 - ε}), for any ε > 0, unless NP ⊆ coNP/poly. On the other hand it was also shown that Treedepth-η Deletion admits a uniform kernel of size f(F) ⋅ k⁶ depicting that there are subclasses of F where the asymptotic kernel sizes do not grow as a function of the family F. This work led to the question of determining classes of F where the problem admits uniform polynomial kernels. In this paper, we show that if all the graphs in F are connected and ℱ contains K_{2,p} (a bipartite graph with 2 vertices on one side and p vertices on the other), then the problem admits a uniform kernel of size f(F) ⋅ k^10. The graph K_{2,p} is one natural extension of the graph θ_p, where θ_p is a graph on two vertices and p parallel edges. The case when F contains θ_p has been studied earlier and serves as (the only) other example where the problem admits a uniform polynomial kernel.

研究の動機と目的

• 与えられた任意の $n$ に対して、大きな $K_{2,n}$-minor を含まないグラフの構造を特徴づけること。
• 既知の $K_{1,n}$-minor-free グラフの構造的特徴づけを、より複雑な $K_{2,n}$-minor の場合に拡張すること。
• 大きなグラフにおいて $K_{2,n}$-minor の存在を強制する十分な連結性条件を確立すること。
• 2-和と有界拡張を用いた分解定理を形式化し、$K_{2,n}$-minor-free グラフを記述すること。

提案手法

• ハミルトニアンサイクル上での制限付きの弦の交差によって定義される、外平面グラフの一般化としてのタイプIグラフを導入する。
• ファンとストリップの2種類の拡張を定義し、これらを有界サイズのグラフに加えることで、第二の構築ブロックのクラスを形成する。
• 2-和操作を用いてグラフを結合し、構造的制約を保ちながら、複雑な $K_{2,n}$-minor-free グラフを構築する。
• 帰納法と minor の縮約/削除の議論を用いて、タイプIグラフが $K_{2,5}$-minor を含まないことを示す。
• 2-和における再帰的 minor 避免の議論を用い、成分グラフが $K_{2,m}$ および $K_{2,n}$-minor を含まない場合、2-和も $K_{2,mn}$-minor を含まないことを証明する。
• ストリップおよびファンにおけるエッジ分離集合を用いて、接続の互いに素な集合の数を制限し、minor サイズに対する指数的上界を可能にする。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 与えられた $n$ に対して、大きな $K_{2,n}$-minor を含まないグラフを特徴づける構造的性質は何か？
• RQ2 $K_{2,n}$-minor-free グラフのクラスは、有限個の構築ブロックと操作を用いて分解可能か？
• RQ3 どの連結性の閾値が、大きなグラフにおける $K_{2,n}$-minor の存在を強制するか？
• RQ4 2-和操作は、有界サイズの拡張を施されたグラフの minor-閉包性質にどのように影響するか？

主な発見

• すべての $K_{2,n}$-minor-free グラフは、タイプIグラフと有界サイズのグラフの拡張から、有限個の2-和操作を用いて構成可能である。
• タイプIグラフは $K_{2,5}$-minor を含まず、minor 含有の構造的障壁を示している。
• 2つの $K_{2,m}$-および $K_{2,n}$-minor-free グラフの2-和は $K_{2,mn}$-minor-free である。これにより、再帰的 minor 避免の境界が可能になる。
• $n$ 個以下の頂点をもつグラフの任意の拡張は、$K_{2,f_{6.3}(n)}$-minor を含まず、ここで $f_{6.3}(n) = 10n \cdot 2^n$ である。これは指数的上界を提供する。
• 任意の固定された $n$ に対して、最小次数が6以上である十分に大きな3連結グラフは、$K_{2,n}$-minor を含む。
• 十分に高い次数の頂点をもつ4連結グラフおよび十分に大きな5連結グラフは、大きな $n$ に対して $K_{2,n}$-minor を含まなければならない。