[論文レビュー] Grassmann defectivity à la Terracini

Carla Dionisi, Claudio Fontanari|ArXiv.org|Dec 14, 2001

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 7被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、多様体 $V$ のグラスマン欠損性と $\mathbb{P}^k$ とのセグレ積の標準的欠損性の間の対応関係を確立し、古典的テラチーニ型の手法を用いてグラスマン欠損多様体を分類可能にする。主な結果は、$V_{2,d}$ が $(d,h) \neq (3,4)$ の場合、$(1,h)$-欠損的でないということであり、$V_{2,3}$ が唯一 $(1,4)$-欠損的である例外を除いて、三変数形式のワーリング型問題を解決する。

ABSTRACT

This work is a modern revisitation of a classical paper by Alessandro Terracini, going back to 1915, which suggests an elementary but powerful method for studing Grassmann defective varieties. In particular, the case of Veronese surfaces is completely understood, giving an positive answer to the so-called Waring problem for pairs of homogeneous polynomials in three variables.

研究の動機と目的

• テラチーニの古典的アプローチをグラスマン欠損性に一般化し、彼の1915年の知見をより広い種類の多様体に拡張すること。
• 多様体 $V$ の $(k,h)$-グラスマン欠損性と、そのセグレ埋め込み $\sigma(\mathbb{P}^k \times V)$ の $h$-欠損性の間の明確な対応関係を確立すること。
• 三変数の同次多項式の対に関するワーリング型問題を、Veronese 表面の欠損性の分析によって解明すること。
• Veronese 表面 $V_{2,d}$ のグラスマン欠損性の完全な分類を提供し、唯一の例外が $(d,h) = (3,4)$ であることを特定すること。

提案手法

• $(k,h)$-グラスマンセカント多様体 $\operatorname{Sec}_{k,h}(V)$ を、$V$ 上の $h+1$ 個の独立な点（各点が $k$ 次元線形空間上にある）の包あつまりの閉包として定義する。
• Segre埋め込み $\sigma$ を用いて、$V$ が $(k,h)$-欠損的で、$\delta_{k,h}(V) = \delta$ であることは、$\sigma(\mathbb{P}^k \times V)$ が $h$-欠損的で、$\delta_h(\sigma(\mathbb{P}^k \times V)) = \delta$ であることと同値であることを証明する。
• ヤコビアンの基準と局所パラメータ化を用いて、$h+1$ 個の点と $k+1$ 個の係数のスパンを符号化する多線形写像 $\phi$ の像の次元を分析する。
• アレクサンダー＝ヒルシュヴィッツの定理を適用し、$d \geq 5$ のとき線型系統 $|\mathcal{L}_{2,d}(2^{h+1})|$ が非特異的であることを示し、次元の上限を得る。
• 曲線の線形系に固定成分がある場合とない場合の2通りのケースを分析し、ベルティーニの定理と基底集合の制約を用いる。
• 線型系統とグラスマン多様体の次元制約から得られる不等式を導出し、$d=3,h=4$ が唯一の例外でない限り矛盾が生じることを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 Veronese 表面 $V_{2,d}$ がいつ $(1,h)$-グラスマン欠損的となるか。
• RQ2 三変数の同次多項式の対に関するワーリング問題は、すべての $k+1$ 個の多項式に共通の $h+1$ 個の線形形式を用いて解けるか。
• RQ3 多様体 $V$ のグラスマン欠損性と $\sigma(\mathbb{P}^k \times V)$ の標準的欠損性との間に一般の対応関係があるか。
• RQ4 $(k,h)$-欠損的 Veronese 表面 $V_{2,d}$ の完全な分類は何か。
• RQ5 なぜ $(d,h) = (3,4)$ の場合が、$(1,h)$-グラスマン設定における非欠損性の唯一の例外なのであろうか。

主な発見

• Veronese 表面 $V_{2,d}$ は、$d \neq 3$ または $h \neq 4$ のすべての $d,h$ に対して $(1,h)$-欠損的でない。これは、グラスマンセカント多様体の期待次元が達成されることを意味する。
• 唯一の例外は $V_{2,3}$ であり、これは $(1,4)$-欠損的である。これは、一般の5点を通る平面の三次曲線の線形系に固定成分の二次曲線が存在することによって確認される。
• $V_{2,3}$ が $(1,4)$-グラスマン欠損的であることは、$\sigma(\mathbb{P}^1 \times V_{2,3})$ が $4$-欠損的であることと同値であり、次元が期待される19ではなく18である。
• $d \geq 5$ のとき、線型系統 $|\mathcal{L}_{2,d}(2^{h+1})|$ は非特異的であり、期待次元と一致するため、矛盾の導出が可能になる。
• $d=2$ および $d=3$ の場合、特殊線型系統を個別に分析し、$\delta > 0$ のとき $\dim \mathcal{L}_{2,d}(2^{h+1}) = 0 < \delta/2$ であることが示され、$\delta$ 個の独立な線形系の存在と矛盾する。
• 証明により、$d=3,h=4$ を除き、そのような配置は存在しないことが示され、定理の鋭さが確認される。