[論文レビュー] Grassmann tensor network states and its renormalization for strongly correlated fermionic and bosonic states

Zheng‐Cheng Gu, Frank Verstraete+1 more|arXiv (Cornell University)|Apr 15, 2010

Quantum many-body systems参考文献 1被引用数 26

ひとこと要約

本稿では、強い電子相関を示すフェルミ粒子およびボソン状態（特に射影的構成やfPEPSに由来する状態を含む）を効率的に表現するための統一的枠組みとして、グレアマンテンソルネットワーク状態（GTNS）を導入する。グレアマン変数へのテンソルネットワーク手法の一般化により、再正規化されたテンソルネットワークアプローチを用いて、ノルムおよび局所的演算子期待値の多項式時間計算が可能となり、平均場理論を超えた高次元量子系に対するバリエーショナル法が提供される。

ABSTRACT

The projective construction (the slave-particle approach) has played an very important role in understanding strongly correlated systems, such as the emergence of fermions, anyons, and gauge theory in quantum spin liquids and quantum Hall states. Recently, fermionic Projected Entangled Pair States (fPEPS) have been introduced to effciently represent many-body fermionic states. In this paper, we show that the strongly correlated bosonic/fermionic states obtained both from the projective construction and the fPEPS approach can be represented systematically as Grassmann tensor product states. This construction can also be applied to all other tensor network states approaches. The Grassmann tensor product states allow us to encode many-body bosonic/fermionic states effciently with a polynomial number of parameters. We also generalize the tensor-entanglement renormalization group (TERG) method for complex tensor networks to Grassmann tensor networks. This allows us to approximate the norm and average local operators of Grassmann tensor product states in polynomial time, and hence leads to a variational approach for describing strongly correlated bosonic/fermionic systems in higher dimensions.

研究の動機と目的

• 射影的構成やfPEPSに由来する状態を含む、強い相関を持つ量子状態を一元的に表現するための枠組みを構築すること。
• 特に電子演算子が部分粒子演算子の積の和である場合に、射影状態のノルムや局所的期待値を計算する際の計算困難性を克服すること。
• テンソル・エンタングルメント自己同形化群（TERG）法をグレアマンテンソルネットワークに一般化し、物理的観測量の効率的バリエーショナル近似を可能とすること。
• 従来の方法が指数的スケーリングのために失敗する高次元系において、物理的量の多項式時間計算を可能とすること。

提案手法

• 強い相関を持つフェルミオンおよびボソン状態を、多項式数のパラメータで記述可能なグレアマンテンソル積状態として表現すること。
• グレアマン変数を用いて、射影的構成やfPEPSに由来する状態を体系的に記述し、一元的なテンソルネットワーク定式化を可能とすること。
• TERGアルゴリズムをグレアマンテンソルネットワークに一般化し、ノルムおよび局所的演算子期待値の効率的近似を可能とすること。
• グレアマンテンソルネットワーク自己同形化を用いて、エネルギーおよび相関関数などの物理的観測量を多項式時間で計算すること。
• グレアマン数の代数的構造を活用し、テンソルネットワーク表現においてフェルミ統計およびトポロジカル秩序を保存すること。
• 得られたバリエーショナルアンザッツを用いて、2次元以上における強い相関系の基底状態を探索すること。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 グレアマンテンソルネットワーク状態は、射影的構成やfPEPSに由来する強い相関フェルミオンおよびボソン状態を、多項式的パラメータ数で効率的に表現可能か？
• RQ2 テンソル・エンタングルメント自己同形化群（TERG）法は、グレアマンテンソルネットワークに一般化可能であり、物理的観測量の効率的計算を可能とするか？
• RQ3 標準的なバリエーショナルモンテカルロ法が、電子演算子が部分粒子演算子の積の和である射影状態に対して失敗する理由は何か？そしてグレアマンテンソルネットワークはこれを克服できるか？
• RQ4 非アーベルおよびトポロジカルな量子状態（例えば、パフリアン状態やラウフリン状態）のエンタングルメント構造は、どのようにしてグレアマンテンソルネットワークを用いて効率的に捉えられるか？
• RQ5 グレアマンテンソルネットワークは、平均場理論を超える高次元系における強い相関系のシミュレーションのための普遍的バリエーショナルアンザッツとして機能可能か？

主な発見

• グレアマンテンソルネットワーク状態は、射影的構成やfPEPSに由来する強い相関フェルミオンおよびボソン状態を、多項式的パラメータ数で体系的かつ効率的に表現可能である。
• グレアマンテンソルネットワークに一般化されたTERG法により、ノルムおよび局所的演算子期待値の多項式時間計算が可能となり、高次元系におけるバリエーショナルシミュレーションが現実可能となる。
• 電子演算子を部分粒子演算子の積の和として表現することで、非アーベル的トポロジカル秩序（例えば、パフリアン状態）を効率的に捉えることに成功した。
• 3つの部分粒子を用いた射影的構成により、$\nu=1/3$のラウフリン状態およびその$SU(3)_1$チェーン＝シモンズ低エネルギー有効理論を再現した。
• グレアマンテンソルネットワーク定式化により、エネルギー準位の占有状態（ELF）では記述できない状態、例えば量子スピン液体や非フェルミ液体金属の研究が可能となった。
• 従来のモンテカルロ法が、積の和としての演算子表現における符号問題のために失敗する系に対しても、このフレームワークはバリエーショナル的手法を可能とした。