[論文レビュー] Grassmannian Approach to Super KP Hierarchies

Michiaki Takama|ArXiv.org|Jun 25, 1995

Advanced Topics in Algebra参考文献 19被引用数 5

ひとこと要約

本稿では、MRSKP や JSKP といった既知の SKP 階層をフィールド理論的 B-C システムの記述によって統一する、'最大'なスーパーラプラス（SKP）階層のグラスマン多様体枠組みを構築する。カック＝ヴァン・デ・ルのスーパーボソン化を用いて、τ関数に作用する頂点演算子を構成し、波動関数および双対波動関数を導出することで、従来欠落していた最大 SKP 階層のτ関数記述を完成させる。

ABSTRACT

We present a theory of 'maximal' super-KP(SKP) hierarchy whose flows are maximally extended to include all those of known SKP hierarchies, including, for example, the MRSKP hierarchy of Manin and Radul and the Jacobian SKP(JSKP) introduced by Mulase and Rabin. It is shown that SKP hierarchies has a natural field theoretic description in terms of the B-C system, in analogous way as the ordinary KP hierarchy. For this SKP hierarchy, we construct the vertex operators by using Kac-van de Leur superbosonization. The vertex operators act on the \(τ\)-function and then produce the wave function and the dual wave function of the hierarchy. Thereby we achieve the description of the 'maximal' SKP hierarchy in terms of the \(τ\)-function, which seemed to be lacking till now. Mutual relations among the SKP hierarchies are clarified. The MRSKP and the JSKP hierarchies are obtained as special cases when the time variables are appropriately restricted.

研究の動機と目的

• MRSKP や JSKP を含む、すべての既知の SKP 階層を包含する '最大' なスーパーラプラス（SKP）階層を定式化すること。
• 通常の KP 階層と類似する、B-C システムを用いた SKP 階層のフィールド理論的記述を提供すること。
• カック＝ヴァン・デ・ルのスーパーボソン化を用いて、τ関数に作用する頂点演算子を構成すること。
• 従来不完全であった最大 SKP 階層のτ関数記述を完成させること。
• 統一されたグラスマン多様体枠組みを通じて、さまざまな SKP 階層同士の相互関係を明確にすること。

提案手法

• 通常の KP 階層をスーパー対称的状況に一般化するため、最大 SKP 階層はグラスマン多様体幾何を用いて構築される。
• SKP 階層の物理的解釈を提供するため、B-C システムがフィールド理論的実現として用いられる。
• カック＝ヴァン・デ・ルのスーパーボソン化を適用し、τ関数から波動関数および双対波動関数を生成する頂点演算子を導出する。
• 頂点演算子がτ関数に一貫して作用し、階層全体の構造を生成することが示される。
• 時間変数の制限を用いて、MRSKP や JSKP といった既知の SKP 階層が特別な場合として回復される。
• グラスマン多様体的アプローチにより、さまざまな SKP 階層間の相互関係が統一的に記述可能となる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 すべての既知の SKP 階層を統一する '最大' なスーパーラプラス（SKP）階層をどのように定義できるか？
• RQ2 B-C システムを用いた SKP 階層のフィールド理論的実現とは何か？
• RQ3 スーパーボソン化を用いて構成された頂点演算子は、τ関数にどのように作用し、波動関数を生成するか？
• RQ4 最大 SKP 階層の完全なτ関数記述とは何か、そしてどのように達成されるか？
• RQ5 MRSKP および JSKP 階層は、最大 SKP フレームワーク内でどのように特別な場合として埋め込まれるか？

主な発見

• グラスマン多様体幾何を用いた最大 SKP 階層が、すべての既知の SKP 階層を統一する枠組みとして成功裏に定式化された。
• B-C システムは、通常の KP の場合と類似した自然なフィールド理論的記述を SKP 階層に提供する。
• カック＝ヴァン・デ・ルのスーパーボソン化を経て導出された頂点演算子は、τ関数に作用し、波動関数および双対波動関数を生成する。
• 最大 SKP 階層のτ関数記述が完成し、理論的に長年欠落していたギャップが解消された。
• 時間変数の適切な制限により、MRSKP および JSKP 階層が特別な場合として回復された。
• グラスマン多様体およびτ関数の形式的記述を通じて、さまざまな SKP 階層同士の相互関係が明確にされた。