[論文レビュー] Gravitational anomaly of 3+1 dimensional Z_2 toric code with fermionic charges and fermionic loop self-statistics

Lukasz Fidkowski, Jeongwan Haah+1 more|arXiv (Cornell University)|Oct 27, 2021

Quantum Chromodynamics and Particle Interactions被引用数 6

ひとこと要約

本稿では、フェルミオン的電荷を有する2つの3+1次元Z₂トーリックコードを区別するため、新しい位相的不変量であるループ自己統計μ = ±1を導入する。これは、通常のFcBl相（μ = 1）と、重力的異常を示す新規のFcFl相（μ = -1）を区別するものである。FcFl相が異常であることが示され、非自明な4+1次元可逆的位相の境界でのみ実現可能であることが、厳密に解けるモデルと、膜演算子および位相的ストリング過程を用いたμの明示的計算により確認された。

ABSTRACT

Quasiparticle excitations in $3+1$ dimensions can be either bosons or fermions. In this work, we introduce the notion of fermionic loop excitations in $3+1$ dimensional topological phases. Specifically, we construct a new many-body lattice invariant of gapped Hamiltonians, the loop self-statistics, that distinguishes two bosonic topological orders that both superficially resemble $3+1$ d ${\mathbb{Z}}_2$ gauge theory coupled to fermionic charged matter. The first has fermionic charges and bosonic ${\mathbb{Z}}_2$ gauge flux loops (FcBl) and is just the ordinary fermionic toric code. The second has fermionic charges and fermionic loops (FcFl), and, as we argue, can only exist at the boundary of a non-trivial 4+1d invertible bosonic phase, stable without any symmetries, i.e. it possesses a gravitational anomaly. We substantiate these claims by constructing an explicit exactly solvable $4+1$ d Walker-Wang model and computing the loop self-statistics in the fermionic ${\mathbb{Z}}_2$ gauge theory hosted at its boundary. We also show that the FcFl phase has the same gravitational anomaly as all-fermion quantum electrodynamics. Our results are in agreement with the recent classification of nondegenerate braided fusion 2-categories by Johnson-Freyd, and with the cobordism prediction of a non-trivial ${\mathbb{Z}}_2$ classified $4+1$ d invertible phase with action $S=\frac{1}{2} \int w_2 w_3$.

研究の動機と目的

• 3+1次元フェルミオン的Z₂ゲージ理論におけるトポロジカルオーダーを区別するため、新しい多体格子不変量であるループ自己統計μを定義すること。
• ボソン的ループを有する（FcBl）とフェルミオン的ループを有する（FcFl）という2つのZ₂トーリックコードの間の曖昧さを解消すること。
• FcFl相が異常であり、非自明な4+1次元可逆的位相の境界でのみ実現可能であり、独立した3+1次元系として存在できないことを示すこと。
• ウォーカー＝ワング型ブートストラップ構成を用いて、4+1次元の厳密に解けるモデルを構築し、境界にFcFl相を実現すること。
• FcFl相がすべてフェルミオンの量子電磁力学と同一の重力的異常を有することを示し、コボルディズムおよびbraided fusion 2-category分類枠組みと整合することを確認すること。

提案手法

• 3+1次元において、膜演算子を用いてループ配置を編み込むT字接続に類似したプロセスを通じて、ループ自己統計μを定義する。
• 境界理論をバルクハミルトニアンにブートストラップすることで、ウォーカー＝ワング構成に類似した方法で4+1次元の厳密に解けるモデルを構築する。
• フェルミオンのストリング演算子および膜演算子を用いて、境界理論におけるループ励起の統計を調べる。
• 時空内で閉じた経路に沿ってループを断続的に回転させた際の位相の変化を追跡することでμを計算し、非ユニバーサルな位相を丁寧にキャンセルする。
• μがゲージ電荷がフェルミオンである場合にのみ正しく定義され、μ = -1が重力的異常を示すことを示す。
• フェルミオン的電荷の条件下で、μが補助的選択（例：M_ij, |c⟩基底）に依存しないことを証明し、位相的安定性を保証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 フェルミオン的電荷を有するが、異なるループ統計を示す2つのZ₂トーリックコードを区別するための新しい位相的不変量を定義できるか？
• RQ2 FcFl相（フェルミオン的電荷とフェルミオン的ループ）は異常であり、非自明な4+1次元可逆的位相の境界でのみ実現可能か？
• RQ3 フェルミオン的Z₂ゲージ理論において、μ = +1（FcBl）とμ = -1（FcFl）を区別する物理的メカニズムは何か？
• RQ4 境界にμ = -1を有するFcFl相を実現する4+1次元の厳密に解けるモデルを構築できるか？
• RQ5 FcFl相は、コボルディズムおよびbraided fusion 2-category分類予測通り、すべてフェルミオンの量子電磁力学と同じ重力的異常を有するか？

主な発見

• ループ自己統計μ = ±1は、フェルミオン的電荷を有する3+1次元Z₂ゲージ理論に対して、well-definedかつ頑健な不変量であり、FcBl（μ = 1）とFcFl（μ = -1）を区別する。
• FcFl相が重力的異常を有することを示し、非自明な4+1次元可逆的位相の境界でのみ実現可能であり、独立した3+1次元系として存在できないことが判明した。
• ブートストラップ法を用いて4+1次元の厳密に解けるモデルを構築し、境界にFcFl相を実現した。明示的な計算によりμ = -1が確認された。
• FcFl相は、すべてフェルミオンの量子電磁力学と同一の重力的異常を有することを示し、トポロジカル分類枠組みと整合することを確認した。
• ゲージ電荷がフェルミオンである場合、ループ自己統計μは補助的選択（M_ij, |c⟩基底）に依存せず、位相的不変性が保証される。
• FcFl相は、すべての他のanyonが閉じ込められたりanyonicである一方で、特異な脱コンfinementを示すフェルミオン的点励起を有することを確認し、非自明なトポロジカルオーダーを示した。