[論文レビュー] Gravitational dual of the Rényi twist displacement operator

Srivatsan Balakrishnan, Souvik Dutta+1 more|arXiv (Cornell University)|Jul 20, 2016

Numerical methods in inverse problems被引用数 10

ひとこと要約

本稿では、AdS/CFT 対応を用いて、CFT における高次元のねじれ特異点上の移動演算子のホログラフィック双対を構築し、双曲的ブラックホール背景における線形化された計量ゆらぎの境界から体内への伝達関数を導出する。主な結果は、任意次元における移動演算子の2点関数係数 $ C_D $ の明示的計算であり、$ n \to 1 $ の極限において、ヌルエネルギー演算子の応答と整合していることが明らかになった。

ABSTRACT

We give a recipe for computing correlation functions of the displacement operator localized on a spherical or planar higher dimensional twist defect using AdS/CFT. Such twist operators are typically used to construct the $n$'th Renyi entropies of spatial entanglement in CFTs and are holographically dual to black holes with hyperbolic horizons. The displacement operator then tells us how the Renyi entropies change under small shape deformations of the entangling surface. We explicitly construct the bulk to boundary propagator for the displacement operator insertion as a linearized metric fluctuation of the hyperbolic black hole and use this to extract the coefficient of the displacement operator two point function $C_D$ in any dimension. The $n ightarrow 1$ limit of the twist displacement operator gives the same bulk response as the insertion of a null energy operator in vacuum, which is consistent with recent results on the shape dependence of entanglement entropy and modular energy.

研究の動機と目的

• CFT における高次元のねじれ特異点上の移動演算子のホログラフィック双対を構築すること。
• 任意の時空次元における移動演算子の2点関数係数 $ C_D $ を計算すること。
• ねじれ特異点の $ n \to 1 $ 極限と、真空へのヌルエネルギー挿入の応答との整合性を確立すること。
• AdS/CFT を用いて、球面または平面的ねじれ特異点上での移動演算子の相関関数を計算する一般的な手法を提示すること。
• 明示的に移動演算子の体内実現を構築することで、ホログラフィー双対性を特異点を伴う CFT に拡張すること。

提案手法

• Rényi エントロピーを、codimension-2 のねじれ特異点を持つ $ n $ 重のオルビフォールド CFT を用いて定義するためのレプリカトリックを用いる。
• 埋め込み空間形式と dCFT のWard恒等式を用いて、移動演算子のスケーリング次元 $ d-1 $ と横方向ベクトル変換性を特徴付ける。
• 双曲的ブラックホール背景（$ \mathbb{H}_{d-1} \times S^1 $ のホライズン幾何）上での線形化計量ゆらぎとして、境界から体内への伝達関数を構築する。
• $ \delta_n = n-1 $ の摂動展開を用いて、元の双曲的ブラックホール解を、ねじれ特異点がずれた形状に変形する微分同相およびWeyl変形を導出する。
• 境界の変形 $ \delta w^\alpha $ を用いて、体内計量ゆらぎ $ h_{mn} $, $ h_{m\tau} $, および $ h_{\tau\tau} $ を、$ \hat{k}(r) $ の摂動解を用いて解く。
• $ \rho \to 0 $ の極限を用いて、エンタングルメント表面付近での主要な計量ゆらぎを抽出し、それが共形的に適応されたガウス型正規座標系に一致することを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 CFT における高次元のねじれ特異点上の移動演算子は、どのように AdS 内の線形化計量ゆらぎとしてホログラフィックに実現可能か？
• RQ2 任意次元における移動演算子の境界から体内への伝達関数の明示的形は何か？
• RQ3 $ n \to 1 $ 極限における Rényi ねじれ特異点の応答は、真空へのヌルエネルギー演算子挿入の応答とどのように関係するか？
• RQ4 一般の $ d $ 次元 CFT における移動2点関数係数 $ C_D $ は何か？
• RQ5 なぜ、特異点の共形不変性が、エンタングルメント表面付近での特定の形の変形計量を自然に選ぶのか？

主な発見

• 任意次元 $ d $ における移動2点関数係数 $ C_D $ が明示的に計算され、Rényi エントロピーの形状依存性に対する普遍的なホログラフィック結果が得られた。
• $ n \to 1 $ 極限におけるねじれ特異点の応答が、ヌルエネルギー演算子挿入に対する体内応答と一致し、最近のエントロピー形状依存性に関する結果と整合していることが確認された。
• エンタングルメント表面付近の体内計量ゆらぎは、共形的に適応された非ガウス型正規座標系に類似した形を取り、共形不変性から自然に生じる。
• 移動演算子の体内実現は、境界の変形 $ \delta w^\alpha $ を通じて完全に決定される線形化計量ゆらぎ $ h_{mn} $, $ h_{m\tau} $, $ h_{\tau\tau} $ として導出された。
• ねじれ特異点をずらすための微分同相および Weyl 変形は、$ \delta_n = n-1 $ の摂動展開を用いて構築され、期待される変形された双曲的幾何に一致する解が得られた。
• 境界から体内への伝達関数の全貌は、$ \phi^\alpha $, $ \hat{g} $, $ \hat{\nabla} $, および $ \rho $ を用いて表され、式 (48) に明示的に与えられており、エンタングルメント表面から遠く離れた領域でも有効である。