[論文レビュー] Gravitational energy as Noether charge

Sean A. Hayward|ArXiv.org|Apr 13, 2000

Earth Systems and Cosmic Evolution被引用数 5

ひとこと要約

本稿は、微分同型不変理論における作用の境界項にネーターの定理を適用することで、準局所的重力エネルギーの定義を提案する。エネルギーは時間的ベクトル場に関連するネーター荷重として生じ、それぞれの対称的状況下で標準的エネルギー（ボンディ、コマール、ミスナー＝シャープ）を回復する。また、量子論と類似した古典的エネルギー-時間双対性を確立する。

ABSTRACT

A definition of gravitational energy is proposed for any theory described by a diffeomorphism-invariant Lagrangian. The mathematical structure is a Noether- current construction of Wald involving the boundary term in the action, but here it is argued that the physical interpretation of current conservation is conservation of energy. This leads to a quasi-local energy defined for compact spatial surfaces. The energy also depends on a vector generating a flow of time. Angular momentum may be similarly defined, depending on a choice of axial vector. For Einstein gravity: for the usual vector generating asymptotic time translations, the energy is the Bondi energy; for a stationary Killing vector, the energy is the Komar energy; in spherical symmetry, for the Kodama vector, the energy is the Misner-Sharp energy. In general, the lack of a preferred time indicates the lack of a preferred energy, reminiscent of the energy-time duality of quantum theory.

研究の動機と目的

• 一般相対性理論および関連理論における重力エネルギーを定義するという長年の概念的問題を解決すること。
• 等価原理による局所的エネルギー密度の制限を回避する、物理的に意味のある準局所的エネルギー定義を提供すること。
• ボンディ、コマール、ミスナー＝シャープエネルギーといった既知のエネルギー定義を、ネーターの定理に基づく統一的枠組みで統合すること。
• 時間並進対称性がエネルギーを定義する役割を明らかにし、古典的重力と量子論のエネルギー-時間双対性を結びつけること。
• 重力場と物質場を同等に扱う場合、全エネルギーが両者の寄与を含むことを示すこと（例：ライスナー＝ノールストローム解において）。

提案手法

• 微分同型不変ラグランジアンの変分における境界項に、ウォルド形式のネーターカレント構成を適用する。
• ネーターカレント J を J = Θ(φ, £ξφ) − ξ·L として導出する。ここで Θ は作用変分から得られるシンプレクティックポテンシャルである。
• 場の方程式が成立するとき J = dQ とすることでネーター荷重 Q を特定し、これを保存エネルギーと解釈する。
• 時間の流れを定義する時間生成ベクトル場 ξ を導入し、Q を通じてエネルギーを定義する。
• アインシュタイン重力と物質場（カイラス＝ゴルドン、マクスウェル）にこの手法を適用し、エネルギー密度および全荷重の明示的表現を計算する。
• 妥当性を検証するため、既知のエネルギーを回復する：漸近的に平坦な時空で ξ が無限遠で時間並進を生成する場合、ボンディエネルギーが得られ、重力波のフラックスを含む。静止時空でキリングベクトル ξ を用いる場合、コマールエネルギーと一致する。球対称性を持つ場合、コーダマベクトルを ξ として用いることでミスナー＝シャープエネルギーが得られ、動的球対称時空への適用性が示される。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 微分同型不変理論の作用変分における境界項から、一貫性があり準局所的な重力エネルギーの定義を導出可能か？
• RQ2 境界項に基づくネーター荷重構成は、物理的エネルギー保存とどのように関係するか？
• RQ3 提案されたエネルギー定義は、対称的時空において既知のエネルギー形（例：ボンディ、コマール、ミスナー＝シャープ）を回復するか？
• RQ4 時間生成ベクトルの選択が、重力エネルギーを定義する上で果たす役割は何か？
• RQ5 重力と物質を同等に扱う場合、物質場は全エネルギーにどのように寄与するか？

主な発見

• 時間的ベクトル場 ξ に関連するネーター荷重は、コンpakな空間的表面にわたる準局所的エネルギー積分を生じさせ、非局所的重力エネルギー密度の問題を解決する。
• ξ が無限遠で時間並進を生成する漸近平坦時空では、エネルギーはボンディエネルギーに簡約され、重力波フラックスを含む。
• 静止時空でキリングベクトル ξ を用いる場合、エネルギーはコマールエネルギーと一致し、従来の定義と整合性が確認される。
• 球対称性を持つ場合、コーダマベクトルを ξ として用いることでミスナー＝シャープエネルギーが得られ、動的球対称時空への適用性が示される。
• ライスナー＝ノールストローム解において、全エネルギーはアインシュタイン寄与とマクスウェル寄与の和（E_E + E_M = m）に等しくなる。これは、物質と重力エネルギーを組み合わせて正しい質量を回復できることを示している。
• 優先される時間ベクトルが存在しないことから、重力エネルギーが一意に定まらないことの古典的類似が示され、量子論のエネルギー-時間不確定性原理の古典的アナロジーである。