[論文レビュー] Gravity as a Higgs Field. I.the Geometric Equivalence Principle

G. Sardanashvily|ArXiv.org|May 6, 1994

Relativity and Gravitational Theory参考文献 6被引用数 3

ひとこと要約

この論文は、重力がトランプル場（tetrad field）によって引き起こされる自発的対称性の破れに起因するヒッグス場として理解可能であると提唱している。トランプル場がヒッグス機構の秩序パラメータとして機能する。クライン＝チェルの幾何学を用いて等価原理を再定式化することで、ディラックフェルミオンが時空座標とトランプル座標の両方の接続を含む総称ディラック作用素を介して重力と結合することを示し、これにより時空と内部対称性が統合される。

ABSTRACT

{\it If gravity is a metric field by Einstein, it is a Higgs field.} Gravitation theory meets spontaneous symmetry breaking in accordance with the Equivalence Principle reformulated in the spirit of Klein-Chern geometries of invariants. In gravitation theory, the structure group of the principal linear frame bundle $LX$ over a world manifold $X^4$ is reducible to the connected Lorentz group $SO(3,1)$. The physical underlying reason of this reduction is Dirac fermion matter possessing only exact Lorentz symmetries. The associated Higgs field is a tetrad gravitational field $h$ represented by a global section of the quotient $\Si$ of $LX$ by $SO(3,1)$. The feature of gravity as a Higgs field issues from the fact that, in the presence of different tetrad fields, Dirac fermion fields are described by spinor bundles associated with different reduced Lorentz subbundles of $LX$, and we have nonequivalent representations of cotangent vectors to $X^4$ by Dirac's matrices. It follows that a fermion field must be regarded only in a pair with a certain tetrad field. These pairs fail to be represented by sections of any product bundle $S imes\Si$, but sections of the composite spinor bundle $S o\Si o X^4$. They constitute the so-called fermion-gravitation complex where values of tetrad gravitational fields play the role of coordinate parameters, besides the familiar world coordinates. In Part 1 of the article, geometry of the fermion-gravitation complex is investigated. The goal is the total Dirac operator into which components of a connection on $S o\Si$ along tetrad coordinate directions make contribution. The Part II will be devoted to dynamics of fermion-gravitation complex. It is a constraint system to describe which we use the covariant multisymplectic generalization of the Hamiltonian formalism when canonical momenta correspond to derivatives of fields with respect to all world coordinates, not only the time.

研究の動機と目的

• 不変量を用いたクライン＝チェルの幾何学による等価原理の再定式化を通じて、重力とフェルミオン物質を統一すること。
• 自発的ローレンツ対称性の破れによって重力がヒッグス場として生じる幾何的枠組みを確立すること。
• フェルミオンと重力の結合を、積バンドル $S \times \Sigma$ ではなく、トランプル場空間上の複合スピン bundle $S \to \Sigma \to X^4$ を通じて記述すること。
• マルチシンプレクティック形式における制約付きハミルトニアン力学の幾何的基盤を築くこと。
• 異なるトランプル場がディラック行列を介して余接ベクトルの非同値な表現を生じることを示し、これによりトランプル空間上のファイバー構造が不可欠である。

提案手法

• 4次元の世界多様体 $X^4$ 上のフレーム bundle $LX$ の構造群を、ディラックフェルミオンの正確なローレンツ対称性に裏付けられたローレンツ群 $SO(3,1)$ に縮約する。
• トランプル重力場 $h$ を、商 bundle $\Sigma = LX / SO(3,1)$ のグローバルセクションとして特定し、この文脈におけるヒッグス場を定義する。
• フェルミオン-重力複合系を、トランプル場が座標パラメータとして機能する複合スピン bundle $S \to \Sigma \to X^4$ として構成する。
• 時空座標とトランプル座標の両方の方向への接続を含む総称ディラック作用素を導出し、時空と内部対称性を統合する。
• すべての世界座標に関する微分に対する正準運動量を割り当てる、共変なマルチシンプレクティック一般化ハミルトニアン形式を適用する。
• 主 bundle と関連 bundle の幾何学を用いて、ヒッグス的対称性の破れを伴うゲージ的構造として、フェルミオンと重力の相互作用をモデル化する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 クライン＝チェルの幾何学を用いて等価原理を再定式化することで、重力とフェルミオン物質を統一することは可能か？
• RQ2 トランプル場は、自発的ローレンツ対称性の破れを通じて重力をヒッグス場として実現するにあたり、幾何学的にどのような役割を果たすか？
• RQ3 フェルミオン-重力系はなぜ積バンドル $S \times \Sigma$ では表現できないのか？ それらに代わる構造は何か？
• RQ4 時空座標とトランプルパラメータ座標の両方の方向への接続から、総称ディラック作用素はどのようにして導かれるか？
• RQ5 マルチシンプレクティック形式は、制約付き系としてのフェルミオン-重力複合系の力学を記述するにあたり、どのような役割を果たすか？

主な発見

• トランプル場 $h$ は、重力のヒッグス場として機能し、$"]\Sigma = LX / SO(3,1)$ におけるグローバルセクションとして、全線形フレーム対称性がローレンツ対称性に自発的破れすることを符号化する。
• ディラックフェルミオンは、特定のトランプル場とペアでしか重力と結合しないが、このようなペアは積バンドルではなく、複合スピン bundle $S \to \Sigma \to X^4$ のセクションによって記述される。
• 異なるトランプル場は、ディラック行列を介して余接ベクトルの非同値な表現を生じさせ、これにより普遍的なスピン bundle 構造が破綻する。
• 総称ディラック作用素は、時空座標とトランプル座標の両方の方向への接続成分の和として構成され、幾何的および力学的側面が統合される。
• フェルミオン-重力複合系は制約系を形成し、すべての世界座標微分に対する運動量が割り当てられる共変なマルチシンプレクティックハミルトニアン形式によって動力学的支配を受ける。
• 幾何的枠組みは、将来の重力とフェルミオンの動力学的理論の自然な設定を提供し、フレーム bundle の構造群の縮約に基づくヒッグス的メカニズムが根拠となる。