[論文レビュー] Gravity Inside a Nonrotating, Homogeneous, Spherical Body

Homer G. Ellis|arXiv (Cornell University)|Mar 20, 2012

Cosmology and Gravitation Theories参考文献 5被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、アインシュタインの場の運動方程式における根本的な誤りを是正し、被動的重力質量と能動的重力質量を不適切に同一視していた点を是正することで、非回転で一様な球対称物体の新しい内部計量を提案する。この計量は、変分原理から導かれた改良されたアインシュタイン場方程式に基づき、能動的重力質量密度を正しい源項として特定している。得られる計量は、滑らかにシュワルツシルト外部解に一致し、物体内部を通過する光子およびニュートリノの飛行時間を修正する予測をもたらし、標準的なシュワルツシルト内部解とは論理的に整合する代替案を提供する。

ABSTRACT

Schwarzschild's 'interior solution' is a space-time metric that satisfies Einstein's gravitational field equations with a source term that Einstein created on the basis of an unjustified identification of the conceptually distinct notions of the passive gravitational mass of matter and the active gravitational mass of matter. Giving up that assumption allows deriving from a variational principle new and better (because logically obtained) field equations that more faithfully extend the Poisson equation for Newton's gravity than do Einstein's, with an active gravitational mass density providing the source term. Solving these equations for a nonrotating spherical ball of matter with uniform mass density produces a new, improved interior metric matched at the surface of the ball to Schwarzschild's 'exterior' solution metric. This new metric can then be used to address questions about the flight times of photons and neutrinos through such a ball of matter.

研究の動機と目的

• アインシュタインの場方程式における基礎的誤りを是正すること。具体的には、被動的重力質量を能動的重力質量と不適切に同一視していた点を是正する。
• 能動的重力質量密度を正しく源項として組み込んだ変分原理から論理的に整合性のある場方程式のセットを導出すること。
• 非回転で一様な球対称体の新しい内部計量を構築し、表面でシュワルツシルト外部解と滑らかに一致させること。
• 新しい計量を用いて、このような物体を通過する光子およびニュートリノの飛行時間を計算すること。特に、実験的ニュートリノ時計測定結果の解釈に関連する。

提案手法

• 変分原理 $\delta\!\int({\bm{R}}-\frac{8\pi\kappa}{c^{2}}\mu+2\,\phi^{.\gamma}\phi_{.\gamma})\,|g|^{\frac{1}{2}}\,d^{4}\!x=0$ から新しい場方程式を導出し、一般化された解を得るための補助スカラー場 $\phi$ を導入する。
• 静的で球対称かつ一様な球体に対して、得られた場方程式 $ {\bm{R}}_{\alpha\beta}=\frac{4\pi\kappa}{c^{2}}\mu\,g_{\alpha\beta}-2\,\phi_{.\alpha}\phi_{.\beta} $ および $ \square\phi=0 $ を解く。
• パrameter $ \lambda $ を用いて、$ d\tau^{2}=\frac{1-2m/R}{1+\lambda m/R}\left[1+\frac{\lambda m}{R}\frac{r^{2}(\rho)}{R^{2}}\right]\,dt^{2}-\cdots $ の形をした新しい内部計量を構築する。ここで $ r(\rho)=\lambda(\rho-\rho_0) $ および $ \rho_0=\frac{\lambda-1}{\lambda}R $ である。
• 内部計量を $ r=R $ でシュワルツシルト外部解に一致させるために、$ \left(1-\frac{2m}{R}\right)\lambda^{2}-\frac{m}{R}\lambda-1=0 $ を解き、$ \lambda $ を決定する。
• 計量を「エーテル流れ」形式に表現することで、測地線の運動および半径方向加速度の振る舞いを明確にする。
• テスト粒子の半径方向測地線方程式を計算し、重力的および遠心力的成分の半径方向加速度を分析する。その結果、重力は連続的であるが、遠心力の成分は境界で不連続であることが示される。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 アインシュタインの場方程式をどのように是正すれば、被動的重力質量と能動的重力質量の不適切な同一視を回避し、能動的重力質量密度 $ \mu $ を正しい源項として正しく特定できるか？
• RQ2 非回転で一様な球対称体に対して、シュワルツシルト外部解に滑らかに一致する新しい内部計量はどのようなものか？
• RQ3 新しい計量下で、光子およびニュートリノが物体を通過する飛行時間は、標準的なシュワルツシルト内部解と比べてどのように異なるか？
• RQ4 新しい内部計量下で、テスト粒子の半径方向加速度の振る舞いは、特に中心部および境界部でどうなるか？
• RQ5 新しい計量は、重力の力の連続性を保ちながら、表面で遠心力の効果に不連続性を導入するか？

主な発見

• 新しい内部計量は、被動的質量と能動的質量を不適切に同一視しなかった修正された変分原理から導かれたものであり、能動的重力質量密度 $ \mu $ が正しく源項として特定されている。
• 解は $ \lambda = \frac{m+\sqrt{m^{2}+4R(R-2m)}}{2(R-2m)} $ を与え、これにより半径スケーリング $ r(\rho)=\lambda(\rho-\rho_0) $ が決定され、$ r=R $ で外部シュワルツシルト解に滑らかに一致することが保証される。
• 計量は、球の中心部で重力的および遠心力的半径方向加速度が両方とも消えることを示し、ニュートン的期待と整合的である。
• 境界部では、新しい内部計量と外部計量との間で、重力的成分の半径方向加速度は連続的であるが、遠心力的成分は $ R/\lambda \neq R-3m $ のため不連続的である。
• 新しい計量により、物体内部通過の光子およびニュートリノの飛行時間を高精度で計算可能となり、OPERA や ICARUS などの実験の結果解釈に潜在的な影響を及ぼす可能性がある。
• 計量の「エーテル流れ」形式は、重力場の半径方向の流れを明らかにし、半径座標 $ \rho $ が表面半径 $ r(\rho) $ よりも速く増加することを示しており、内部における非ユークリッド幾何の特徴を反映している。