[論文レビュー] Greedy and Local Ratio Algorithms in the MapReduce Model

Nicholas J. A. Harvey, Christopher Liaw+1 more|arXiv (Cornell University)|Jun 17, 2018

Complexity and Algorithms in Graphs被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、重み付き頂点被覆およびマッチングのための定数ラウンド2-近似、重み付き集合被覆のためのf-近似、重み付き集合被覆のための(1+ε)ln∆-近似、および(1+o(1))Δ-彩色アルゴリズムを実現する2つの新規技法—ランダム化局所比とハンガリー・グリーディー—を導入する。これらの手法は、各マシンにおけるサブラインアーメモリで、定数ラウンドのMapReduceアルゴリズムを設計する。

ABSTRACT

MapReduce has become the de facto standard model for designing distributed algorithms to process big data on a cluster. There has been considerable research on designing efficient MapReduce algorithms for clustering, graph optimization, and submodular optimization problems. We develop new techniques for designing greedy and local ratio algorithms in this setting. Our randomized local ratio technique gives $2$-approximations for weighted vertex cover and weighted matching, and an $f$-approximation for weighted set cover, all in a constant number of MapReduce rounds. Our randomized greedy technique gives algorithms for maximal independent set, maximal clique, and a $(1+ε)\ln Δ$-approximation for weighted set cover. We also give greedy algorithms for vertex colouring with $(1+o(1))Δ$ colours and edge colouring with $(1+o(1))Δ$ colours.

研究の動機と目的

• マシンごとのサブラインアーメモリ制約下で、古典的なNP困難な最適化問題に対する効率的なMapReduceアルゴリズムを設計すること。
• MapReduceのような並列分散モデルにおいて、通常は逐次的であるグリーディおよび局所比アルゴリズムの本質的逐次性を克服すること。
• 頂点被覆、マッチング、集合被覆、グラフ彩色を含む問題に対して、最適またはほぼ最適の近似比を達成する定数ラウンドの近似アルゴリズムを実現すること。
• 近似保証を維持するランダムサンプリングおよび重み削減戦略を活用することで、実用的かつスケーラブルな実装を可能にすること。
• 特にグラフ彩色や最大クリーク問題において、空間制約のため標準的な還元が不適切となるMapReduceの限界に対処すること。

提案手法

• 独立同分布に従って要素をサンプリングし、そのサンプルに対して局所比アルゴリズムを実行し、重み調整を用いて未サンプリング要素の定数割合を削除するランダム化局所比技法を導入する。
• 局所比フレームワーク内でε-調整された重み削減を適用し、非重い辺が定数ラウンド以内に削除されることを保証することで、近似比を維持する。
• 目的関数の最適化を目的としないが、高重みまたは高次数の要素を優先的にサンプリングすることで、問題サイズを急速に縮小し、高速収束を実現する「ハンガリー・グリーディー」技法を開発する。
• チェルノフ不等式などの集中不等式を用いて、エッジまたは頂点のランダムサンプリングによる度数または重みの低下を、各ラウンドで高確率で保証する。
• 最終的な解を、低重みエッジから構築するスタックベースのグリーディー展開フェーズを採用し、正しさと近似境界を保証する。
• ハインタルン＝ツェメレーディの定理を活用し、削減後に色クラスのサイズがバランスされるようにすることで、(1+o(1))Δ-彩色アルゴリズムを導く。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 通常は逐次的であるグリーディおよび局所比アルゴリズムを、近似品質を損なわずにMapReduceモデルで効果的に並列化できるか？
• RQ2 ランダムサンプリングを用いて、局所比更新を模倣する方法が、各ラウンドごとに未サンプリング要素の定数割合を削除することを保証できるか？
• RQ3 目的関数の順序付けや優先度関数が自然に定義されない問題（例：最大クリークやグラフ彩色）に対して、グリーディー手法をどのように適合できるか？
• RQ4 標準的な還元（例：補グラフの構築）が空間制約のため不適切となるMapReduce環境において、どのようにして空間制約を克服できるか？
• RQ5 重み付き集合被覆、頂点被覆、およびb-マッチングに対して、定数ラウンドのMapReduceで達成可能な近似比は何か？

主な発見

• ランダム化局所比アルゴリズムは、高確率でO(1)ラウンドで最小重み頂点被覆および最大重みマッチングに対して2-近似を達成する。
• 同じ技法により、任意の要素の最大頻度がfである場合、最小重み集合被覆に対してf-近似が定数ラウンドで達成される。
• b ≥ 2の最大重みb-マッチングに対しては、μ > 0の場合はO(c/μ)ラウンド、μ = 0の場合はO(log n)ラウンドで(3 − 2/b + 2ε)-近似が達成される。
• ハンガリー・グリーディー技法により、重み付き集合被覆に対して(1 + ε)ln Δ-近似がO(1)ラウンドで達成され、サンプリングによって問題サイズが急速に縮小される。
• 頂点彩色およびエッジ彩色の両方に対して、(1 + o(1))Δ-彩色アルゴリズムが提示され、定数ラウンドでほぼ最適な境界が達成される。
• 解析により、O(1)ラウンド経過後、最大次数Δが高確率で各ラウンドごとにn^μ/4の割合で減少することが示された。これにより、高速収束が可能になる。