[論文レビュー] Greedy Bipartite Matching in Random Type Poisson Arrival Model

Allan Borodin, Christodoulos Karavasilis+1 more|arXiv (Cornell University)|Jan 1, 2018

Bayesian Methods and Mixture Models被引用数 2

ひとこと要約

本稿では、オンラインノードが同じタイプの連続的なバーストで到着するオンライン二部マッチングのための新しい確率的入力モデル、ランダムタイプポアソン到着モデル（RTPAM）を導入する。バースト長はポアソン(1)分布に従う。著者らはこのモデル下でのグリーディアルゴリズムを分析し、エッジ密度パラメータcのすべてのスケールにおいて、少なくとも0.715の競合比を達成することを証明した。これは、敵対的設定における最悪ケースの境界を著しく改善しつつ、現実的な入力相関を反映している。

ABSTRACT

We introduce a new random input model for bipartite matching which we call the Random Type Poisson Arrival Model. Just like in the known i.i.d. model (introduced by Feldman et al. 2009), online nodes have types in our model. In contrast to the adversarial types studied in the known i.i.d. model, following the random graphs studied in Mastin and Jaillet 2016, in our model each type graph is generated randomly by including each offline node in the neighborhood of an online node with probability $c/n$ independently. In our model, nodes of the same type appear consecutively in the input and the number of times each type node appears is distributed according to the Poisson distribution with parameter 1. We analyze the performance of the simple greedy algorithm under this input model. The performance is controlled by the parameter $c$ and we are able to exactly characterize the competitive ratio for the regimes $c = o(1)$ and $c = ω(1)$. We also provide a precise bound on the expected size of the matching in the remaining regime of constant $c$. We compare our results to the previous work of Mastin and Jaillet who analyzed the simple greedy algorithm in the $G_{n,n,p}$ model where each online node type occurs exactly once. We essentially show that the approach of Mastin and Jaillet can be extended to work for the Random Type Poisson Arrival Model, although several nontrivial technical challenges need to be overcome. Intuitively, one can view the Random Type Poisson Arrival Model as the $G_{n,n,p}$ model with less randomness; that is, instead of each online node having a new type, each online node has a chance of repeating the previous type.

研究の動機と目的

• オンライン入力がバースト的かつ相関のある到着を示す現実世界のシナリオ（例：繰り返し発生する広告リクエストやジョブタイプ）をモデル化すること。これは、i.i.d. または完全にランダムなエッジ確率を持つエッジ・レニイ・モデルを越えるものである。
• この新しいモデル下での単純なグリーディアルゴリズムの性能を分析すること。このモデルでは、従来の確率的モデルとは異なり、連続するオンラインノード間に依存関係が生じる。
• エッジ密度パラメータcの3つのスケール、c = o(1)、c = ω(1)、c = Θ(1)におけるグリーディアルゴリズムの競合比のタイトな境界を確立すること。
• RTPAMにおけるグリーディの性能を、Gn,n,pおよびi.i.d.モデルにおける既知の結果と比較し、特に入力相関が近似保証に与える影響を検討すること。
• 定数cのスケールにおける期待マッチングサイズの明確な特徴付けを行い、すべてのc値に対して成り立つ競合比の下界を導出すること。

提案手法

• ランダムタイプポアソン到着モデル（RTPAM）を提案。各オンラインノードタイプは、ランダムグラフG(n,n,c/n)から抽出され、各タイプはポアソン(1)分布に従う長さの連続したバーストで現れる。
• グリーディアルゴリズムを分析。各到着したオンラインノードは、固定順序での最初の未マッチングのオフラインノードにマッチングされ、タイプ分布の情報を使用しない。
• ランダムグラフ理論および分枝過程の技術を用いて、c = o(1)、c = ω(1)、c = Θ(1)の3つのスケールにおける、マッチングされたオフラインノードの期待割合を漸近的に特徴付ける。
• エッジ密度パラメータcの下で、RTPAM(n,c)における最大マッチングサイズの上界を、エッジ確率c/nのエッジ・レニイ・モデルG(n,n,c/n)における既知の上界を適応することで導出する。
• グリーディの性能から得られる下界と、最適マッチングサイズの上界を組み合わせることで、cの関数としての競合比の下界を導出する。
• c > 0の範囲で得られた下界を数値的に最小化し、最悪ケースの競合比が約0.715であることを特定する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 オンラインノードが同じタイプの相関のあるバーストで到着する場合、オンライン二部マッチングにおけるグリーディアルゴリズムの性能は、独立に到着する場合とどのように異なるか？
• RQ2 RTPAMモデル下で、エッジ密度パラメータcの異なるスケールにおけるグリーディアルゴリズムの正確な漸近的競合比は何か？
• RQ3 RTPAMにおけるタイプの相関の導入は、i.i.d.モデルやエッジ・レニイ・モデルと比較して、近似比にどのような影響を与えるか？
• RQ4 RTPAMにおける最大マッチングサイズの上界は、既知のG(n,n,c/n)モデルの結果から導出可能か？また、その上界はどの程度タイトか？
• RQ5 RTPAMモデル下で、すべてのc値に対してグリーディアルゴリズムの最悪ケース競合比は何か？また、その値はどのcで最小化されるか？

主な発見

• c = o(1)およびc = ω(1)のスケールでは、グリーディアルゴリズムの競合比は正確に1であり、これはすべての可能なオフラインノードが漸近的にマッチングされることを意味する。
• 定数cのスケールでは、マッチングされたオフラインノードの期待割合について、分枝過程の近似から導かれる方程式系の解に依存する正確な漸近的表現が得られている。
• RTPAM(n,c)におけるグリーディアルゴリズムの競合比は、すべてのc値に対して0.715以上に下界づけられており、最小値はc ≈ 0.667766で達成される。
• 競合比の下界は、グリーディの期待マッチングサイズと、G(n,n,c/n)モデルからの既知の結果を適応した最適マッチングサイズの上界を組み合わせることで導出された。
• 定数cのスケールにおいて、RTPAMにおけるグリーディの性能は、i.i.d.またはGn,n,c/nモデルにおける性能より厳密に悪いことが確認され、入力相関がグリーディの性能を悪化させるという直感を裏付けた。
• 著者らは、現在の下界0.715がタイトでない可能性を仮説し、最適マッチングサイズの上界をより厳密にすることで、競合比保証を改善できる可能性を示唆している。