[論文レビュー] Greedy can also beat pure dynamic programming

Stasys Jukna, Hannes Seiwert|arXiv (Cornell University)|Jan 1, 2018

Advanced Graph Theory Research参考文献 15被引用数 1

ひとこと要約

この論文は、最小重み全域木問題に関して、純粋な動的計画法（DP）アルゴリズムが少なくとも $2^{\Omega(n)}$ の演算を必要とすることを証明している。一方、クラスカルの貪欲法は $O(n^2\log n)$ 時間でこれを解ける。この結果は、貪欲法と純粋なDPアルゴリズムの計算能力が互いに比較不能であることを示しており、それぞれが他方が効率的に処理できない問題を解けることになる。

ABSTRACT

Many dynamic programming algorithms are in that they only use min or max and addition operations in their recursion equations. The well known greedy algorithm of Kruskal solves the minimum weight spanning tree problem on $n$-vertex graphs using only $O(n^2\log n)$ operations. We prove that any pure DP algorithm for this problem must perform $2^{\Omega(n)}$ operations. Since the greedy algorithm can also badly fail on some optimization problems, easily solvable by pure DP algorithms, our result shows that the computational powers of these two types of algorithms are incomparable.

研究の動機と目的

• 最小重み全域木（MST）問題に対する純粋な動的計画法アルゴリズムの計算複雑性を分析すること。
• 同じ問題に対してクラスカルの貪欲法と純粋なDPアプローチの効率を比較すること。
• 貪欲法と純粋なDPアルゴリズムの計算能力の理論的分離を確立すること。
• 純粋なDPアルゴリズムがMSTに対して本質的に指数時間が必要であることを証明すること、これは効率的な貪欲法解が存在するにもかかわらずである。

提案手法

• 論文は、純粋なDPアルゴリズムにおける再帰式の構造を分析し、min/Maxおよび加法演算のみを許容する制限を設ける。
• 純粋なDP再帰式の表現的制限に基づいて、下界を構築する議論を行う。
• 組合せ論的および情報理論的推論を用いて、いかなる純粋なDPアルゴリズムも指数的数の状態を探索しなければならないことを示す。
• この議論は、単純な局所的選択ルールに従ってMSTを効率的に構築するクラスカルの貪欲法と対比される。
• 論文は「純粋なDP」という概念を、再帰関係にmin、max、加法のみを用いるアルゴリズムとして形式化する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 純粋な動的計画法アルゴリズムは、最小重み全域木問題を多項式時間で解けるか？
• RQ2 min、max、加法演算に制限された純粋なDPアルゴリズムの固有の計算複雑性は何か？
• RQ3 MST問題において、クラスカルの貪欲法の効率は、純粋なDPの時間計算量と比べてどの程度か？
• RQ4 貪欲法が失敗するが純粋なDPが成功する最適化問題と、逆に貪欲法が成功するが純粋なDPが失敗する問題は存在するか？

主な発見

• 最小重み全域木問題に対する純粋な動的計画法アルゴリズムは、少なくとも $2^{\Omega(n)}$ の演算を必要とする。
• クラスカルの貪欲法はMST問題を $O(n^2\log n)$ 時間で解くことができ、これは純粋なDPの指数的下界に比べて著しく効率的である。
• 貪欲法と純粋なDPアルゴリズムの計算能力は互いに比較不能である：それぞれが他方が効率的に処理できない問題を解ける。
• 純粋なDPアルゴリズムが再帰式にmin、max、加法のみを用いる制限のもとで、この結果は成り立つ。