[論文レビュー] Green function for linearized Navier-Stokes around a boundary layer profile: near critical layers

Emmanuel Grenier, Toan T. Nguyen|arXiv (Cornell University)|May 15, 2017

Navier-Stokes equation solutions参考文献 10被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、単調でスペクトル安定な境界層プロファイルの周囲における線形化ナビエ＝ストークス方程式について、位相速度が基本流れ速度と一致する臨界層領域を焦点として、グリーン関数および半群に関する鋭い点での評価を確立する。スペクトル解析とオール・シューマンフェルト方程式およびレイノルズ方程式の詳細な研究を用いて、時間に指数的に増大する評価を $ u^{1/4}$ の率で得ており、粘性がない極限における不安定化機構を解明している。

ABSTRACT

This is a continuation and completion of the program (initiated in \cite{GrN1,GrN2}) to derive pointwise estimates on the Green function and sharp bounds on the semigroup of linearized Navier-Stokes around a generic stationary boundary layer profile. This is done via a spectral analysis approach and a careful study of the Orr-Sommerfeld equations, or equivalently the Navier-Stokes resolvent operator $(λ- L)^{-1}$. The earlier work (\cite{GrN1,GrN2}) treats the Orr-Sommerfeld equations away from critical layers: this is the case when the phase velocity is away from the range of the background profile or when $λ$ is away from the Euler continuous spectrum. In this paper, we study the critical case: the Orr-Sommerfeld equations near critical layers, providing pointwise estimates on the Green function as well as carefully studying the Dunford's contour integral near the critical layers. As an application, we obtain pointwise estimates on the Green function and sharp bounds on the semigroup of the linearized Navier-Stokes problem near monotonic boundary layers that are spectrally stable to the Euler equations, complementing \cite{GrN1,GrN2} where unstable profiles are considered.

研究の動機と目的

• 文献[9, 10]で開始されたスペクトル解析プログラムを、境界層プロファイル周囲の線形化ナビエ＝ストークス方程式における臨界層ケースにまで完成させること。
• 単調でスペクトル安定な境界層の周囲における線形化ナビエ＝ストークス作用素について、グリーン関数の点での評価および鋭い半群評価を導出すること。
• 位相速度が基本流れ速度 $U(z)$ と一致する臨界層付近におけるオール・シューマンフェルト方程式およびレイノルズ方程式の振る舞いを分析すること。
• 粘性に依存しない一様な半群 $e^{Lt}$ の評価を、指数的増大率 $ nu^{1/4}$ を伴って確立し、粘性の小さい極限における不安定化効果を捉えること。
• 不安定なプロファイルに関する既存の結果を安定なケースに拡張し、臨界層近辺における線形化ナビエ＝ストークス力学の包括的画像を提供すること。

提案手法

• 線形化ナビエ＝ストークス問題のオール・シューマンフェルト方程式を解析するため、リゾルベント作用素 $(\lambda - L)^{-1}$ を用いたスペクトル的アプローチを採用する。
• 臨界層付近におけるレイノルズ方程式およびその解を、漸近展開および $\alpha \ll 1$、$\alpha \approx 1$、$\alpha \gg 1$ の各場合における近似グリーン核を用いて研究する。
• 臨界層近辺における4階微分構造をモデル化するための修正されたアイルリーオペレーターを導入し、畳み込み評価および滑らかさ効果を導出する。
• ダングフォードの積分表示を用いて半群 $e^{Lt}$ を表現し、不安定固有値を避けるためにコンtourを慎重に変形することで、指数的減衰因子を獲得する。
• グリーン関数の振る舞いに基づいて解をゆっくりと動くモードと速いモードに分解し、それぞれに異なる点での評価を導出する。
• 重み付き $L^1$ 空間およびゲヴレー型ノルムを用いて渦度を制御し、小粘性極限 $\nu \ll 1$ における一様な評価を導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 スペクトル安定な境界層における臨界層近辺の線形化ナビエ＝ストークス方程式について、グリーン関数および半群はどのように振る舞うか？
• RQ2 位相速度 $c$ が、ある $z$ で基本流れ速度 $U(z)$ と一致する場合、グリーン関数の点での評価はどのように得られるか？
• RQ3 積分コンtourに小さな正の実部 $\gamma_1\nu^{1/4}$ を加えると、半群の安定性および減衰性にどのような影響を与えるか？
• RQ4 小 $\alpha$ におけるレイノルズ方程式およびその解は、臨界層の振る舞いをどのように捉えているか？
• RQ5 不安定な場合に観察された $ nu^{1/4}$ の増大率を反映する鋭い $L^1$-型半群評価を、安定なプロファイルに対しても導出可能か？

主な発見

• 本稿は、臨界層近辺におけるオール・シューマンフェルト方程式のグリーン関数について、ゆっくりと動くモードと速いモードに分けて点での評価を確立している。
• 小 $\alpha$ に対して、グリーン関数は $|G_{\alpha,c,s}(x,y)| \leq C_0(1 + \alpha|U(x) - c|^{-1})e^{-\theta_0\alpha|x-y|}$ および $|G_{\alpha,c,f}(x,y)| \leq C_0\delta_{cr}e^{-\frac{3}{4}\nu^{-1/4}\sqrt{\gamma}|x-y|}e^{-\theta_0\sqrt{\max\{|X|,|Y|\}}|X-Y|}$ を満たす。
• 半群 $e^{Lt}$ は鋭い評価 $\|e^{Lt}v_0\|_X \leq C_0\nu^{-1/4}e^{\theta_0\nu^{1/4}t}\|v_0\|_X$ を満たし、$\nu \ll 1$ およびすべての $t > 0$ に対して一様である。ここで $\theta_0 > 0$ である。
• 評価における $ nu^{-1/4}$ の損失は、ゆっくりと動くモードにおける $(U - c)^{-1}$ の特異性に起因し、コンtour変形による $ nu^{1/8}$ の局在化利得によって制御されている。
• コンtourに $\gamma_1\nu^{1/4}$ を加えることにより、積分評価において $e^{-\theta_0|y-z|/\nu^{1/8}}$ の利得が得られ、減衰性が向上し、増大性が制御される。
• 半群の分解 $e^{L_{\alpha}t} = \mathcal{S}_{\alpha} + \mathcal{R}_{\alpha}$ を用いることで、ゆっくりと動くモードと残差成分を一様に制御でき、$\|\mathcal{S}_{\alpha}\| \lesssim \nu^{-1/4}e^{\gamma_1\nu^{1/4}t}$ および $\|\mathcal{R}_{\alpha}\|$ は $L^1$-型ノルムで有界である。