[論文レビュー] Green's function on lattices

Koushik Ray|arXiv (Cornell University)|Sep 27, 2014

Mathematical functions and polynomials参考文献 17被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、任意の次元における格子上での正確なグリーン関数を計算するための残留物ベースの手法を提示する。フーリエ積分を単位円上の線積分に変換することで、留数計算を用いた評価が可能になる。得られる再帰的演算子は一般化超幾何関数で表され、正確な解析的表現と新しい恒等式を提供する。正方格子、三角格子、ハニカム格子への応用も含め、最近接以外の遷移を含むモデルに適用可能である。

ABSTRACT

A method to calculate exact Green's functions on lattices in various dimensions is presented. Expressions in terms of generalized hypergeometric functions in one or more variables are obtained for various examples by relating the resolvent to a contour integral, evaluated using residues. Different ways of arranging the series leads to different combinations of hypergeometric functions providing identities involving generalized hypergeometric functions. The method is shown to be useful for computing Green's functions with next-nearest neighbor hopping as well.

研究の動機と目的

• 任意の次元における格子上での正確なグリーン関数を計算するための体系的かつ包括的な手法の開発。
• 複素平面における線積分と残留計算を用いて、離散ラプラシアンの再帰的演算子を一般化超幾何関数で表現すること。
• 格子の対称性がグリーン関数の構造に与える役割を、さまざまな級数の並べ替えを通じて分析すること。
• 格子モデルにおける最近接以外の遷移を含む形式への拡張。
• 物理的応用、特に漸近的領域において有効な再帰的演算子の解析的接続の提供。

提案手法

• 格子グリーン関数をフーリエ積分から、複素平面における単位円上を回る多次元線積分に変換する。
• 留数法を用いて線積分を評価し、積分変数の逆数のローラン級数係数を抽出する。
• 得られた級数を一般化超幾何関数として表現する。特に、複数の遷移項を含む2次元格子ではラウリチェラ関数を用いる。
• ゼロバランス超幾何関数の解析的接続技術を用いて特異点を扱い、物理的領域における収束を保証する。
• 級数の再編成により超幾何関数間の恒等式を導出する。これにより、対称性の破れや保存の形が異なる表現が得られる。
• 超幾何関数の微分的性質を介して、再帰的演算子をフックス型微分方程式と関連付ける。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 どのようにして線積分と残留計算を用いて、格子上での正確なグリーン関数を計算できるか？
• RQ2 一般化超幾何関数は、さまざまな格子上での離散ラプラシアンの再帰的演算子をどのように表現するか？
• RQ3 同じグリーン関数の異なる級数展開が、どのようにして異なる超幾何関数の組み合わせを生じさせ、新たな恒等式を導くか？
• RQ4 この手法は、格子モデルにおける最近接以外の遷移をどのように処理するか？
• RQ5 既知の超幾何関数の性質を用いて、自己エネルギー項の特異性を解析的に打ち消すことは可能か？

主な発見

• 正方格子の再帰的演算子は一般化超幾何関数で表現可能であり、これにより解析的接続と特異性のキャンセルが可能になる。
• 2次元の三角格子およびハニカム格子では、グリーン関数は第3種ラウリチェラ関数として表現され、超幾何関数の3変数一般化である。
• 同じグリーン関数の異なる級数展開は、異なる超幾何関数の組み合わせを生じさせ、それらの間の新しい恒等式を提供する。
• 最近接以外の遷移を扱うために、追加の結合パラメータτ₁とτ₂を導入することで、本手法は効果的に対応可能である。これにより、4つのインデックスを持つ級数と制約条件が得られる。
• 最近接以外の遷移を含む再帰的演算子は、ガンマ関数と超幾何関数を含む級数として表現可能であり、収束性はパrameterの配置に依存する。
• 形式的枠組みにより、再帰的演算子はスペクトルパラメータに関するフックス型微分方程式の解として書き下ろせ、代数的多様体の周期といった幾何的構造と関連づけられる。