[論文レビュー] Green's function Zero and Symmetric Mass Generation

Yichen Xu, Cenke Xu|arXiv (Cornell University)|Mar 29, 2021

Topological Materials and Phenomena被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、対称的質量生成（SMG）によってトポロジカル超伝導体および絶縁体がトポロジカルに自明化された後でも、その非自明なトポロジーの痕跡が、ゼロ周波数におけるフェルミオンのグリーン関数のゼロとして残存することを示している。実空間における装飾された欠陥構造とグリーン関数を単一粒子経路積分に写像することにより、翻訳対称性を必要とせず、回避的トポロジカル遷移を伴う系ですら、このグリーン関数のゼロの存在を任意次元で証明している。

ABSTRACT

It is known that, under short-range interactions many topological superconductors (TSC) and topological insulators (TI) are trivialized, which means the boundary state of the system can be trivially gapped out by interaction without leading to symmetry breaking or topological ground state degeneracy. This phenomenon is also referred to as "symmetric mass generation" (SMG), and has attracted broad attentions from both the condensed matter and high energy physics communities. However, after the trivialization caused by interaction, some trace of the nontrivial topology of the system still persists. Previous studies have indicated that interacting topological TSC and TI could be related to the "zero" of Green's function, namely the fermion Green's function $G(\mathrm{i} ω ightarrow 0) = 0$. In this work, through the general "decorated defect" construction of symmetry protected topological (SPT) states, we demonstrate the existence of Green's function zero after SMG, by mapping the evaluation of the Green's function to the problem of a single particle path integral. This method can be extended to the cases without spatial translation symmetry, where the momentum space which hosts many quantized topological numbers is no longer meaningful. Using the same method one can demonstrate the existence of the Green's function zero at the "avoided topological transition" in the bulk of the system.

研究の動機と目的

• 対称的質量生成（SMG）によってスペクトルが完全にギャップ化され、対称性の破壊を伴わない状況下でも、トポロジカル超伝導体および絶縁体の非自明なトポロジーが残存する兆候を同定すること。
• 運動量空間におけるトポロジーがもはや定義されない状況下でも、フェルミオンのグリーン関数がゼロ周波数でゼロ（G(iω→0)=0）となることが保証されること。
• 空間翻訳対称性を必要とせず、任意次元で動作する手法を開発し、運動量空間に基づくトポロジカル不変量の制限を克服すること。
• グリーン関数のゼロが境界に限らず、回避的トポロジカル遷移における物質の内部でも安定していることを示すこと。
• 強い相互作用系においてSMGのトポロジカルな痕跡を捉える、実空間的かつ経路積分形式のグリーン関数を提供すること。

提案手法

• 著者らは、対称性保護トポロジカル（SPT）状態の一般化された「装飾された欠陥」構成を用い、実空間におけるSMGプロセスをモデル化している。
• フェルミオンのグリーン関数の計算を単一粒子経路積分に写像することで、運動量空間や翻訳不変性に依存しない評価が可能になっている。
• グリーン関数は小さなパラメータΔのべき級数に展開され、主要な項は修正された伝播関数GΔ(λ)を含む関数的積分によって計算されている。
• 経路積分には、欠陥構造を符号化し、フェルミオン自由度と結合する重み関数ρ~A(δτ,ϕ)が含まれている。
• 経路積分のβが大きいときの振る舞いを解析することで、虚数周波数ω=0におけるグリーン関数の評価がなされ、指数的減衰が示され、これによりω=0におけるゼロが保証されている。
• 数値的積分により、Δの一次補正がβが大きいときβ^{3/2}に比例して減衰することが確認され、ω=0におけるフーリエ変換におけるゼロの存在を支持している。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 非自明なトポロジカル位相は、対称的質量生成（SMG）によって系が完全にギャップ化された後でも、グリーン関数に検出可能な兆候を残すか？
• RQ2 翻訳対称性のない系では、運動量空間の不変量が定義されないが、グリーン関数のゼロはそのような系においても確立可能か？
• RQ3 グリーン関数のゼロは境界に限らず、回避的トポロジカル遷移における物質の内部でも安定しているか？
• RQ4 フェルミオン伝播関数の実空間的経路積分形式によって、SMGメカニズムを理解できるか？
• RQ5 SMG状態におけるグリーン関数補正の関数的形は何か？ そして、これはゼロ周波数におけるゼロをもたらすか？

主な発見

• 対称的質量生成の後、フェルミオンのグリーン関数はゼロ周波数でゼロ（G(iω→0)=0）を示し、完全にギャップ化された相における生存するトポロジカル不変量として機能する。
• 翻訳対称性を必要としない実空間における装飾欠陥構造を用いた手法により、任意次元でグリーン関数のゼロが強く証明されている。
• 数値的評価により、Δの展開における一次補正がβが大きいときβ^{3/2}に比例して減衰することが確認され、ω=0におけるフーリエ変換におけるゼロの存在を示唆している。
• 経路積分形式は、境界および内部の両方、さらには回避的トポロジカル遷移においても、SMGのトポロジカルな痕跡を的確に捉えている。
• この手法は運動量空間の不変量を越えて一般化され、翻訳対称性が破壊されたり欠落している系においてもSMGを検出するフレームワークを提供している。
• 経路積分構造に起因するβが大きいときのグリーン関数の指数的減衰により、系が完全にギャップ化されていながらも、ω=0におけるゼロの存在が保証されている。