[論文レビュー] Greenberg's conjecture and units in multiple Z_p-extensions

William G. McCallum|ArXiv.org|Jul 13, 2000

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 4被引用数 5

ひとこと要約

本稿は、不規則性指数1、Vandiverの予想、単数群の条件の下で、cyclotomic field $\mathbb{Q}(\zeta_p)$ に対してGreenbergの予想を証明する。$p$ が不規則であるがこれらの制約を満たす場合、Iwasawaの単数定理の一般化と類体論を用いて、Galois群が $\Lambda$-加群としてねじれ自由であることを示し、Iwasawa加群 $A$ が擬似零であることを確立する。

ABSTRACT

In this paper we prove Greenberg's pseudo-null conjecture for the field of p-th roots of unity in the case that p exactly divides the class number and the index of the global units in the local units. We also generalize to the case of multiple Z_p-extensions a theorem of Iwasawa on the Kummer extension of the cyclotomic Z_p-extension generated by p-power roots of units .

研究の動機と目的

• 特定の算術的条件の下で、$K = \mathbb{Q}(\zeta_p)$ に対してIwasawa加群 $A$ が擬似零であるというGreenbergの予想を証明すること。
• $N_\infty$ を $p$-unit の $p$-冪根によるKummer拡張とするとき、Galois群 $Y' = \mathrm{Gal}(N_\infty/K_\infty)$ が $\Lambda$-加群としてねじれ自由であることを確立すること。
• Greenbergの予想が、$p$ が正則でない限り、$K$ の最大の $p$-分岐なプロ-$p$ 拡張にランク $r$ の自由なプロ-$p$ 商が存在しないことを制約すること。
• 複数の $\mathbb{Z}_p$-拡張の文脈において、Iwasawaの単数定理を一般化すること。

提案手法

• $\Gamma \cong \mathbb{Z}_p^r$ であるIwasawa代数 $\Lambda = \mathbb{Z}_p[[\Gamma]]$ を用いて、$A$ を $\Lambda$-加群としての構造を研究すること。
• 一般化されたIwasawaの単数定理を適用し、$p$ より上に1つの素点であり、$K_\infty$ にすべての $p^n$ 乗根が含まれる条件下で、Galois群 $Y' = \mathrm{Gal}(N_\infty/K_\infty)$ が $\Lambda$-加群としてねじれ自由であることを示すこと。
• 類体論を用いて $A \cong X = \mathrm{Gal}(L_\infty/K_\infty)$ を特定し、Greenbergの予想が $X$ が擬似零であることと同値であることを示すこと。
• 双対性およびコホモロジー的技法により、$X$ が擬似零であることと $Y = \mathrm{Gal}(M_\infty/K_\infty)$ がねじれ自由であることの同値性を確立すること。
• 定理1の条件（類群 $A(K) \cong \mathbb{Z}/p\mathbb{Z}$、$(U/E)[p^\infty] \cong \mathbb{Z}/p\mathbb{Z}$）が、定理26の仮定（$H^2(G, \mathbb{Z}/p\mathbb{Z}) \cong \mathbb{Z}/p\mathbb{Z}$ および $\mathrm{Kab} \subset N_\infty$）を含意することを検証すること。
• 反射原理と既知の円分単数に関する結果を用いて、$K$ のHilbert類体 $H$ が $K_\infty$ に含まれることを示し、類群の消滅を許容し、$\alpha^{1/p} \in N_\infty$ が成り立つことを導出すること。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 $K = \mathbb{Q}(\zeta_p)$ に対して、Greenbergの予想が $A$ が擬似零であるという条件は、どのような条件下で成立するか？
• RQ2 $p$-unit の $p$-冪根によるKummer拡張のGalois群が $\Lambda$-加群としてねじれ自由であるのはいつか？
• RQ3 Greenbergの予想が、$K$ の最大の $p$-分岐なプロ-$p$ 拡張に自由なプロ-$p$ 商が存在するのをどのように制約するか？
• RQ4 $A$ の構造と $K$ の $p$-進完備化における単数群 $U/E$ の関係は何か？
• RQ5 Iwasawaの単数定理は、複数の $\mathbb{Z}_p$-拡張の文脈に一般化可能か？

主な発見

• $K = \mathbb{Q}(\zeta_p)$ に対して、$A(K) \cong \mathbb{Z}/p\mathbb{Z}$ かつ $(U/E)[p^\infty] \cong \mathbb{Z}/p\mathbb{Z}$ である場合、Greenbergの予想は成立する。これは、37, 59, 67, 101, 103, 131, 149 などの素数で満たされる。
• $K_\infty$ にすべての $p^n$ 乗根が含まれていて、$p$ より上に1つの素点がある場合、$p$-unit の $p$-冪根によるKummer拡張のGalois群 $Y' = \mathrm{Gal}(N_\infty/K_\infty)$ は $\Lambda$-加群としてねじれ自由である。
• 最大アーベル $p$-分岐なプロ-$p$ 拡張 $M_\infty$ のGalois群 $Y$ は $\Lambda$-加群としてねじれ自由であり、これは $A$ が擬似零であることを意味する。
• $K = \mathbb{Q}(\zeta_p)$ がGreenbergの予想を満たすならば、最大の $p$-分岐なプロ-$p$ 拡張 $G = \mathrm{Gal}(\Omega/K)$ がランク $g - s$ の自由なプロ-$p$ 商を持つのは、$p$ が正則である場合に限る。
• $K$ のHilbert類体 $H$ は $K_\infty$ に含まれるため、類群の生成子は消滅し、適切な $p$-unit $\alpha$ に対して $\alpha^{1/p} \in N_\infty$ が成り立つ。
• 定理1の条件は、$p$ がVandiverの予想を満たし、$B_2, B_4, \dots, B_{p-1}$ のうちちょうど1つを割り、$p$-進対数の単数に関する追加の合同条件を満たすことに同値である。