[論文レビュー] Grobner bases and extension of scalars

Dave Bayer, André Galligo+1 more|ArXiv.org|Feb 20, 1992

Advanced Numerical Analysis Techniques参考文献 4被引用数 21

ひとこと要約

この論文は、ネーター環上の多項式環におけるスカラー拡張の下でのグレブナー基底の挙動を調査し、基底環 A 上のイデアル I に対するグレブナー基底がスカラー拡張 B においてもグレブナー基底をなすための条件を確立する。主な貢献は、スカラー拡張が初期イデアルをとる操作と可換であるのは、かつそのときに限り、拡張が平坦であるときであり、初期イデアルの係数イデアルがファイバーの幾何的情報を符号化しており、これにより、開部分集合上で同型や有限準同型を検出可能である。

ABSTRACT

This paper studies the behavior of Grobner bases with respect to extensions of scalars. We prove that an extension of scalars commutes with taking Grobner bases iff the extension is flat. We consider what information can be deduced about fibers of a family, from the Grobner basis of the defining ideal of the family itself. This information can be used to construct algorithms, such as to find locii over which a map is finite, or an isomorphism.

研究の動機と目的

• スカラー拡張に関するグレブナー基底の挙動を、ネーター環 A から環 B に拡張する際の挙動を理解すること。
• イデアル I ⊂ A[x] に対するグレブナー基底が、スカラー拡張によって I·B[x] においてもグレブナー基底をなすための条件を特徴づけること。
• I によって定義される族のファイバーに関する幾何的情報を、in(A) の係数イデアルを用いて抽出すること。
• I によって定義される準同型が同型または有限写像である点の、ベーススキーム上の部分集合（locus）を特定すること。
• I によって定義される族が忠実平坦であるための条件を確立し、代数的性質と幾何的構造を結びつけること。

提案手法

• 単項式順序が斉次性および正規性の公理を満たすものとして、I の元の先頭項によって生成される単項式イデアルとして、in(A) ⊂ A[x] を定義する。
• in(I) の係数イデアルを導入し、単項式 x^E に対しては、in(I) において x^E で割り切れるすべての項の係数によって生成される A 内のイデアルを定義する。
• スカラー拡張 B/A が初期イデアルをとる操作と可換であるのは、かつそのときに限り、B が A 上平坦な A-加群であるときであることを証明する。
• 局所化と係数イデアルの構造を用いて、特に準同型の上への性や有限性に関連してファイバーの挙動を分析する。
• ベーススキームにおける、準同型が同型である（in(I)_x_i ≠ 0 により）または有限である（in(I)_{x_i^∞} = 1 により）最大の開部分集合を特徴づける。
• 得られた結果を応用し、初期イデアル in(I) 及びその係数イデアルのみを用いて、同型、有限写像、忠実平坦性といった幾何的性質を検出可能であることを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 イデアル I ⊂ A[x] に対するグレブナー基底が、B[x] にスカラー拡張された後もグレブナー基底のままであるための条件は何か？
• RQ2 初期イデアル in(I) の係数イデアルは、Spec(A) 上で定義される I による族のファイバーの幾何とどのように関係するか？
• RQ3 ベーススキーム上での、I によって定義される準同型が同型または有限写像である点の正確な部分集合（locus）は何か？
• RQ4 I によって定義される族がベーススキーム上で忠実平坦であるのはいつか？ そしてこれは in(I) の構造とどのように関係するか？
• RQ5 初期イデアル in(I) だけを用いて、ベーススキーム上の「良い」点におけるファイバーの初期イデアルを特定できるか？

主な発見

• スカラー拡張が初期イデアルをとる操作と可換であるのは、かつそのときに限り、拡張 B/A が平坦であるときである。
• I に対するグレブナー基底は、I の台の各孤立成分の稠密な開部分集合への局所化においても、グレブナー基底を定める。
• 初期イデアル in(I) は、「良い」点におけるファイバーの初期イデアルを決定する。ここで、点 p ∈ Spec(A) が「良い」とは、in(I) の各係数イデアルが p を避けるか、p の近傍を含む場合を指す。
• I の台 X のすべての点が「良い」ならば、I によって定義される族は X 上で忠実平坦である。
• 準同型 Y → X は、すべての係数イデアル in(I)_{x_i} が素イデアル p に含まれない最大の開部分集合上で同型である。同様に、すべての i に対して in(I)_{x_i^∞} = 1 である開集合上で有限である。
• 係数イデアル in(I)_{x_i^∞} は、準同型が有限である点の集合を特定する。これらのイデアルは、係数イデアル in(I)_{x_i^e} の上昇列の極限として計算可能である。