[論文レビュー] Groebner-Shirshov bases for free inverse semigroups

L. A. Bokut, Yuqun Chen+1 more|arXiv (Cornell University)|Apr 7, 2008

semigroups and automata theory参考文献 29被引用数 3

ひとこと要約

この論文は、PoliakovaとScheinの2005年の標準的冪等元の構成に基づき、自由逆半群におけるGröbner-Shirshov基底を、deg-lex単項式順序を用いて確立する。各元に対して一意で最短の正規形が得られ、任意の単語をこの正規形に還元する構成的アルゴリズムが提供され、自由逆半群における単語還元の唯一性と効率性が保証される。

ABSTRACT

A new construction of a free inverse semigroup was obtained by Poliakova and Schein in 2005. Based on their result, we find a Groebner-Shirshov basis of a free inverse semigroup relative to the deg-lex order of words. In particular, we give the (unique and shortest) Groebner-Shirshov normal forms in the classes of equivalent words of a free inverse semigroup together with the Groebner-Shirshov algorithm to transform any word to its normal form.

研究の動機と目的

• 自由逆半群の元に対して、Gröbner-Shirshov基底を用いて構成的正規形を構築すること。
• 単語表現の非一意性の問題を解消し、一意で最短の正規形を同定すること。
• Gröbner-Shirshov基底を用いて、任意の単語をその一意正規形に変換するアルゴリズム的手法を提供すること。
• PoliakovaとScheinの枠組みから得られる標準的冪等元を活用することで、Gröbner-Shirshov理論を逆半群へと拡張すること。

提案手法

• X ∪ X⁻¹ が生成する自由モノイド上の deg-lex 単項式順序を用い、リーディングワードと合成を定義する。
• PoliakovaとScheinの構成から導かれる標準的冪等元を含む定義関係から、Gröbner-Shirshov基底 S を構成する。
• Composition-Diamond Lemma を適用し、すべての合成（包含および交差）が S を法として自明であることを証明することで、S がGröbner-Shirshov基底であることを保証する。
• S に対する不可約単語の集合 Irr(S) を正規形として定義し、aā⁻¹ の形の部分単語が存在せず、標準的冪等元が適切に順序付けられていることによって特徴づける。
• 冪等元因子の最初と最後の文字が隣接する語部と一致しないようにすることで、一意性を保証する。
• Gröbner-Shirshovアルゴリズムを実装し、基底 S を用いた逐次還元によって、任意の単語をその一意正規形に還元する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 自由逆半群の元に対して、Gröbner-Shirshov基底を用いて一意的かつ最短の正規形を体系的に導出できるか？
• RQ2 deg-lex順序をどのように用いて、自由逆半群におけるGröbner-Shirshov基底を構成できるか？
• RQ3 標準的冪等元は、逆半群における正規形の一意性を保証するために果たす役割は何か？
• RQ4 構成された基底を法として、すべての合成（包含および交差）が自明であるか？ これにより、それがGröbner-Shirshov基底であることが確認されるか？
• RQ5 Gröbner-Shirshovアルゴリズムは、自由逆半群における任意の単語をその一意正規形に効果的に還元するために使用可能か？

主な発見

• 不可約単語の集合 Irr(S) は、自由逆半群 FI(X) の各元に対して一意的かつ最短の正規形を形成する。
• 正規形は、y ∈ X ∪ X⁻¹ に対して yy⁻¹ の形の部分単語が存在せず、標準的冪等元が適切に順序付けられていることによって特徴づけられる。
• 基底 S におけるすべての包含および交差合成が S を法として自明であり、S がGröbner-Shirshov基底であることが確認される。
• Gröbner-Shirshovアルゴリズムは、任意の単語をその一意正規形に還元する体系的で効果的な方法を提供する。
• 正規形はPoliakovaとScheinが定義する標準的単語の部分集合ではあるが、一般の標準的単語とは異なり、各元に対して一意に定まる。
• この構成により、Irr(S) 内の異なる単語は FI(X) 内で異なる元を表すことが保証され、正規形写像の単射性が保証される。