[論文レビュー] Groebner-Shirshov Bases for Lie Algebras: after A. I. Shirshov

L. A. Bokut, Yuqun Chen|arXiv (Cornell University)|Apr 8, 2008

Advanced Topics in Algebra参考文献 8被引用数 25

ひとこと要約

この論文は、リー代数におけるShirshovのComposition-Diamond補題について包括的な証明を提供し、monicなリー多項式の集合がGröbner-Shirshov基底をなすための必要十分条件が、その集合に属する多項式のすべての合成が基底に関して0に還元可能であることであることを確立している。主な貢献は、Gröbner-Shirshov基底の性質と、その集合によって生成されるリーイデアルに属するすべての元のリーマン項が、$s$ が基底に属するとき $a\bar{s}b$ の形をしているという条件との同値性である。これにより、$S$-還元可能な非結合的Lyndon-Shirshov語の集合が、商代数の線形基底をなすことが保証される。

ABSTRACT

In this paper, we review Shirshov's method for free Lie algebras invented by him in 1962 which is now called the Groebner-Shirshov bases theory.

研究の動機と目的

• 1962年にA. I. Shirshovによって当初提示された、リー代数におけるComposition-Diamond補題の完全かつ厳密な証明を提供すること。
• Gröbner-Shirshov基底の性質と、集合に属する多項式のすべての合成が0に還元可能であるという条件との同値性を確立すること。
• $S$-還元可能な非結合的Lyndon-Shirshov語の集合が、商リー代数 $Lie(X)/Id(S)$ の線形基底をなすことの証明。
• 結合的代数におけるGröbner-Shirshov基底とそのリー代数版との関係を明確にし、集合が $Lie(X)$ でGSBであるための必要十分条件が $k\langle X\rangle$ でGSBであることであることを示すこと。

提案手法

• 方法は、結合的および非結合的Lyndon-Shirshov語（ALSWおよびNLSW）の理論に依拠し、辞書式順序と語長に関する帰納法を用いる。
• Shirshovの消去手続き（Lazard–Shirshov消去法としても知られる）を用いて、リーマン項を還元し、合成を分析する。
• 共通の部分語 $w$ に関して、リー多項式 $f,g$ の合成 $(f,g)_w$ を定義し、可換Gröbner基底における $S$-多項式の概念を一般化する。
• 集合 $S$ がmonicなリー多項式からなるとき、$S$ がGröbner-Shirshov基底であるための必要十分条件が、すべての合成 $\< f,g\rangle_w$ が $S$ に関して0に還元可能であることであることを証明する。
• $S$-還元可能な正規形によるリー多項式の還元を用い、任意の $f \in Id_{Lie}(S)$ のリーマン項が $s \in S$ に対して $a\bar{s}b$ の形をしていることを保証する。
• 商代数 $Lie(X)/Id(S)$ の正規基底として、$S$-還元可能な非結合的Lyndon-Shirshov語の集合が定義され、これは特定の方法で $\bar{s}$ を部分語として含まない $S$-正規語である。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 リー多項式の集合が自由リー代数においてGröbner-Shirshov基底をなすための条件は何か？
• RQ2 Lyndon-Shirshov語と消去手続きを用いて、リー代数におけるComposition-Diamond補題を形式的に証明する方法は何か？
• RQ3 結合的代数におけるGröbner-Shirshov基底とそのリー代数版との間の正確な関係は何か？
• RQ4 与えられたリー多項式の合成が集合 $S$ に関して0に還元可能かどうかをアルゴリズム的に判定する方法は何か？
• RQ5 商代数 $Lie(X)/Id(S)$ の線形基底の構造は、$S$-還元可能な非結合的Lyndon-Shirshov語の観点からどのように記述できるか？

主な発見

• 集合 $S$ が $Lie(X)$ でGröbner-Shirshov基底であるための必要十分条件は、すべての合成 $\langle f,g\rangle_w$ が $S$ に関して0に還元可能であることである。これにより、すべてのリーマン項が還元可能であることが保証される。
• $S$-還元可能な非結合的Lyndon-Shirshov語の集合 $Red(S)$ は、商代数 $Lie(X)/Id(S)$ の線形基底をなしており、商代数の正規基底を提供する。
• 任意の $f \in Id_{Lie}(S)$ のリーマン項は、$s \in S$ および $a,b \in X^*$ に対して $a\bar{s}b$ の形をしている。これはリーイデアルへの属する条件を特徴づける。
• $S$ が $Lie(X)$ でGröbner-Shirshov基底であるための必要十分条件が、$k\langle X\rangle$ でGSBであることであるという同値性が確立された。すなわち、$S$ が $Lie(X)$ でGSBである iff $S$ が $k\langle X\rangle$ でGSBである。
• リー多項式の還元プロセスがリー代数の構造を保つことが示され、すべての還元が $S$-還元可能な正規形 $[a_i s_i b_i]_{\bar{s_i}}$ の形で表現可能であることが分かった。
• 証明により、正規基底 $Red(S)$ が線形独立かつ $Lie(X)/Id(S)$ を張ることが確認された。これはGröbner-Shirshov基底の条件と同値である。