[論文レビュー] Groebner-Shirshov basis of the universal enveloping Rota-Baxter algebra of a Lie algebra

Vsevolod Gubarev, P. S. Kolesnikov|arXiv (Cornell University)|Feb 24, 2016

Advanced Topics in Algebra参考文献 13被引用数 5

ひとこと要約

この論文は、Lie代数の普遍包あらゆるRota-Baxter代数のGröbner-Shirshov基底を用いた非結合的類似PBW定理を確立する。普遍包あらゆるRota-BaxterLie代数の関連する次数付き代数が、Rota-Baxter作用素を備えたLie代数の多様体における普遍包あらゆる代数に同型であることを証明し、Lie代数に作用素を加えた場合のComposition-Diamond補題を用いて、古典的PBW型結果をRota-Baxter構造へ一般化する。

ABSTRACT

Consider the class RBLie of Lie algebras equipped with a Rota---Baxter operator. Then the forgetful functor RBLie --> Lie has a left adjoint one denoted by $U_{RB}(\cdot)$. We prove an "operator" analogue of the Poincare---Birkhoff---Witt theorem for $U_{RB}(L)$, where $L$ is an arbitrary Lie algebra, by means of Gröbner---Shirshov bases theory for Lie algebras with an additional operator.

研究の動機と目的

• 任意のLie代数の普遍包あらゆるRota-Baxter代数のPBW型定理を確立すること。
• Gröbner-Shirshov基底を用いて、普遍包あらゆるRota-BaxterLie代数の組み合わせ的構造を記述すること。
• U_{RB}(L)の関連する次数付き代数が、Rota-Baxter作用素を備えたLie代数の多様体における普遍包あらゆる代数に同型であることを示すこと。
• フィルトレーションを構成し、その関連する次数付き構造を分析することで、古典的PBW結果をRota-Baxter代数の設定へ拡張すること。

提案手法

• 著者らは、追加の作用素（Rota-Baxter作用素）を備えたLie代数に特化したComposition-Diamond補題のバージョンを用いる。
• Rota-Baxter作用素によるLie代数のコピーとその像を含む帰納的自由積構成を用いて、普遍包あらゆるRota-Baxter代数 $U_{RB}(L)$ を構成する。
• 証明は、各段階間の自然な準同型 $\tau_n$ の単射性に依存しており、これによりフィルトレーションが適切に定義される。
• Gröbner-Shirshov基底を用いて、$U_{RB}(L)$ と関連する次数付き代数 $\mathrm{gr}\,U_{RB}(L)$ の関係を比較し、それらの主要部が一致し、高次の項が制御されることを示す。
• 自由代数と非結合的構造の組み合わせ論に関する [8] と [14] の結果を活用する。
• 主な技術的ツールは、普遍包あらゆるRota-BaxterLie代数のGröbner-Shirshov基底の同定であり、これにより関係の比較と関連する次数付き代数の同型が可能になる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 Lie代数の普遍包あらゆるRota-Baxter代数は、Rota-Baxter作用素を備えたLie代数の多様体における普遍包あらゆる代数に同型である関連する次数付き代数を持つPBW型フィルトレーションを備えているか？
• RQ2 Gröbner-Shirshov基底を用いて、$U_{RB}(L)$ の構造を組み合わせ的に記述できるか？
• RQ3 $U_{RB}(L)$ の関係と関連する次数付き代数 $\mathrm{gr}\,U_{RB}(L)$ の関係はどのように比較できるか？
• RQ4 同じPBW型同型は、可換および結合的Rota-Baxter代数の多様体でも成立するか？
• RQ5 Composition-Diamond補題は、Rota-Baxter作用素やNijenhuis写像などの追加作用素を備えたLie代数へ効果的に適用可能か？

主な発見

• 関連する次数付き代数 $\mathrm{gr}\,U_{RB}(L)$ は、Rota-Baxter作用素を備えたLie代数の多様体における普遍包あらゆる代数 $U_{RA}(L)$ に同型である。
• U_{RB}(L) におけるフィルトレーションは、Rota-Baxter作用のネストの次数によって誘導され、Gröbner-Shirshov基底の比較により、$U_{RB}(L)$ と $\mathrm{gr}\,U_{RB}(L)$ の関係の主要部が同一であることが示された。
• 証明により、帰納的構成における自然な準同型 $\tau_n$ が単射であることが保証され、各段階で代数的構造が保存されることを示した。
• 同じPBW型結果は、可換および結合的Rota-Baxter代数の多様体でも成り立ち、類似のフィルトレーションと関連する次数付き代数の同型が得られる。
• 同様の同型は、Nijenhuis作用素を備えた場合にも成立し、関連する次数付き代数とその多様体における普遍包あらゆる代数との間で成立する。
• 可換Rota-Baxter代数の場合、$U_{RB}(A)$ の線形基底は、$s_1 \geq 0$, $s_2,\dots,s_n > 0$, および $x_i$ が $A$ の基底に属する形の $R^{s_1}(x_1 R^{s_2}(x_2 \cdots R^{s_n}(x_n)\cdots))$ の形の要素として明示的に記述できる。